Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
где через В обозначена матрица C1AC Матрицу С можно выбрать так, чтобы матрица В имела простой вид — так называемую нормальную форму Жор-дана. Этот выбор производится следующим образом.
а) Если корни X1, X2 вещественны и различны, то существует вещественное линейное преобразование такое, что матрица В принимает вид
(о X2)
(19.4.8)
(вспомним преобразование к нормальным координатам в теории малых колебаний, см. § 9.2).
Ь) Если корни X1, X2 вещественны и одинаковы, то существует вещественное линейное преобразование такое, что матрица В принимает форму
IX1 0\
(о J <19-4-9>
или форму
Io X1)
(19.4.10)
с) Если корни X1, X2 комплексны и X2 = X1, то существует комплексное линейное преобразование такое, что матрица В принимает форму
(X1 0 \ U X1)'
(19.4.11)
Последнее эквивалентно утверждению, что с помощью надлежащего вещественного линейного преобразования можно привести матрицу В к виду
(19.4.-12)
тде X1 = а i?.
Рассмотрим характер движения в различных случаях.
1) Собственные значения вещественны и одного знака. Рассмотрим отдельно случай, когда они различны и случай, когда они одинаковы.
Ia) Собственные значения вещественны, не равны друг другу и имеют одинаковые знаки. Для определенности предположим, что собственные значения отрицательны, т. е. X1 <iX2 <i 0. Преобразованная система имеет вид
и = X1U, V = X2V. (19.4.13)
Решение можно представить в форме
и = u0eXli = и0е-^', V = v0el'{ = v0e-^f, (19.4.14)
ГДЄ = — X1, Ll1 > Ll2 > 0._ _
Малым значениям Ух2,+-у2 соответствует малые значения У U2^v2 и если Vx2 + у*-у 0, то и Vu2 -\- V2 0, так что расстояние изображающей
366
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
точки от начала координат Опри-г—v оо стремится к нулю. В таких случаях мы будем говорить, что траектория стремится к точке О. Далее, направление касательной к траектории при t —v оо и г —v 0 стремится к некоторому .предельному направлению; мы будем говорить, что при этом траектория входит в точку О. Чтобы доказать, что касательная к траектории стремится занять предельное направление, рассмотрим отношение
¦4 = Ae(i*i--i«a>t. (19.4.15)
Если V0 фО, то оно стремится либо к +оо, либо к —оо. Таким образом, траектория входит в точку О вдоль положительного или отрицательного направления оси v. Если V0 = 0, то траектория представляет собой отрезок оси и
между и = U0 и и = 0. Таким образом, вдоль оси и в точку О входят две траектории (или, точнее, две системы полутраекторий, поскольку изображающая точка движется к точке О вдоль положительного направления оси и при всех положительных значениях и0, а не только при каком-нибудь одном значении). Мы имеем здесь случай, описанный выше, в § 19.1. Траектория входит в точку О, но сама эта точка не принадлежит траектории, а является лишь предельной точкой.
Таким образом, если X1 < X2 <С 0, то все положительные полухарактеристики входят в точку О, из них две (или, точнее, две-системы) входят в эту точку вдоль оси иг а остальные — вдоль оси v (рис. 75). (Если перейти к первоначальным переменным (х, у),. тЪ направления, по которым кривые входят в точку О, уже не будут составлять прямого угла.) Особенность такого типа называют устойчивым узлом. Если X1 > X2 > 0, мы имеем неустойчивый узел; в этом случае в точку О входят отрицательные полухарактеристики.
Ib) Собственные значения вещественны и равны друг другу, и матрица
Рис. 75.
Ia—X1 Ъ \ \ с d—X1)
(19.4.16)
имеет нулевой ранг. В этом случае b = с = 0, a = d = X1. Уравнения имеют вид
X - X1X, 'у = Xty, (19.4.17)
и если X1 ¦< 0, например X1 = —1I1, то решением будет
X = х0е~М, у = у0е~^К (19.4.18)
Траекториями являются прямые
(19.4.19)
Уо X0
и все положительные полухарактеристики входят в точку О. Эта точка снова оказывается устойчивым узлом, но на этот раз, в отличие от случая 1а), положительные полухарактеристики входят в точку О по всевозможным направлениям (рис. 76). Если X1 > 0, то получаем неустойчивый узел. Особенность этого типа редко встречается в практических задачах.
§ 19.4] ДВИЖЕНИЕ B ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ. ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 367
Ic) Собственные значения вещественны и равны друг другу, и ранг матрицы
(а — X1 Ъ \ с V-X1) (19-4-20)
равен единице. Матрицу можно привести к виду
HU)' (19-4-21)
Уравнения запишутся следующим образом:
*
U = X1U-Vv, V = XiV. (19.4.22)
Если Xi < 0, например X1 = —то решение будет иметь вид
и = (и0 + v0t) е-»Ч V = v0e-M, (19.4.23)
и положительные полухарактеристики будут стремиться к точке О. Если
V
Рис. 76. Рис. 77.
V0 = 0, то траектория является частью оси и. Если V0 =^0, то отношение
V V0
и u0-\-v0t (19.4.24)
стремится к нулю, когда t—>• оо, и положительная полухарактеристика входит в точку О вдоль оси Ou. Мы снова имеем устойчивый узел, и все полухарактеристики входят в точку О по направлению оси и (рис. 77). Если X1 > 0, то получаем неустойчивый узел.
Итак, можно утверждать, что если собственные значения вещественны и отрицательны, то особая точка является устойчивым узлом, если же эти значения вещественны и положительны, то особая точка является неустойчивым узлом.