Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 163

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 290 >> Следующая


где через В обозначена матрица C1AC Матрицу С можно выбрать так, чтобы матрица В имела простой вид — так называемую нормальную форму Жор-дана. Этот выбор производится следующим образом.

а) Если корни X1, X2 вещественны и различны, то существует вещественное линейное преобразование такое, что матрица В принимает вид

(о X2)

(19.4.8)

(вспомним преобразование к нормальным координатам в теории малых колебаний, см. § 9.2).

Ь) Если корни X1, X2 вещественны и одинаковы, то существует вещественное линейное преобразование такое, что матрица В принимает форму

IX1 0\

(о J <19-4-9>

или форму

Io X1)

(19.4.10)

с) Если корни X1, X2 комплексны и X2 = X1, то существует комплексное линейное преобразование такое, что матрица В принимает форму

(X1 0 \ U X1)'

(19.4.11)

Последнее эквивалентно утверждению, что с помощью надлежащего вещественного линейного преобразования можно привести матрицу В к виду

(19.4.-12)

тде X1 = а i?.

Рассмотрим характер движения в различных случаях.

1) Собственные значения вещественны и одного знака. Рассмотрим отдельно случай, когда они различны и случай, когда они одинаковы.

Ia) Собственные значения вещественны, не равны друг другу и имеют одинаковые знаки. Для определенности предположим, что собственные значения отрицательны, т. е. X1 <iX2 <i 0. Преобразованная система имеет вид

и = X1U, V = X2V. (19.4.13)

Решение можно представить в форме

и = u0eXli = и0е-^', V = v0el'{ = v0e-^f, (19.4.14)

ГДЄ = — X1, Ll1 > Ll2 > 0._ _

Малым значениям Ух2,+-у2 соответствует малые значения У U2^v2 и если Vx2 + у*-у 0, то и Vu2 -\- V2 0, так что расстояние изображающей

366

СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

[Гл. XIX

точки от начала координат Опри-г—v оо стремится к нулю. В таких случаях мы будем говорить, что траектория стремится к точке О. Далее, направление касательной к траектории при t —v оо и г —v 0 стремится к некоторому .предельному направлению; мы будем говорить, что при этом траектория входит в точку О. Чтобы доказать, что касательная к траектории стремится занять предельное направление, рассмотрим отношение

¦4 = Ae(i*i--i«a>t. (19.4.15)

Если V0 фО, то оно стремится либо к +оо, либо к —оо. Таким образом, траектория входит в точку О вдоль положительного или отрицательного направления оси v. Если V0 = 0, то траектория представляет собой отрезок оси и

между и = U0 и и = 0. Таким образом, вдоль оси и в точку О входят две траектории (или, точнее, две системы полутраекторий, поскольку изображающая точка движется к точке О вдоль положительного направления оси и при всех положительных значениях и0, а не только при каком-нибудь одном значении). Мы имеем здесь случай, описанный выше, в § 19.1. Траектория входит в точку О, но сама эта точка не принадлежит траектории, а является лишь предельной точкой.

Таким образом, если X1 < X2 <С 0, то все положительные полухарактеристики входят в точку О, из них две (или, точнее, две-системы) входят в эту точку вдоль оси иг а остальные — вдоль оси v (рис. 75). (Если перейти к первоначальным переменным (х, у),. тЪ направления, по которым кривые входят в точку О, уже не будут составлять прямого угла.) Особенность такого типа называют устойчивым узлом. Если X1 > X2 > 0, мы имеем неустойчивый узел; в этом случае в точку О входят отрицательные полухарактеристики.

Ib) Собственные значения вещественны и равны друг другу, и матрица

Рис. 75.

Ia—X1 Ъ \ \ с d—X1)

(19.4.16)

имеет нулевой ранг. В этом случае b = с = 0, a = d = X1. Уравнения имеют вид

X - X1X, 'у = Xty, (19.4.17)

и если X1 ¦< 0, например X1 = —1I1, то решением будет

X = х0е~М, у = у0е~^К (19.4.18)

Траекториями являются прямые

(19.4.19)

Уо X0

и все положительные полухарактеристики входят в точку О. Эта точка снова оказывается устойчивым узлом, но на этот раз, в отличие от случая 1а), положительные полухарактеристики входят в точку О по всевозможным направлениям (рис. 76). Если X1 > 0, то получаем неустойчивый узел. Особенность этого типа редко встречается в практических задачах.

§ 19.4] ДВИЖЕНИЕ B ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ. ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 367

Ic) Собственные значения вещественны и равны друг другу, и ранг матрицы

(а — X1 Ъ \ с V-X1) (19-4-20)

равен единице. Матрицу можно привести к виду

HU)' (19-4-21)

Уравнения запишутся следующим образом:

*

U = X1U-Vv, V = XiV. (19.4.22)

Если Xi < 0, например X1 = —то решение будет иметь вид

и = (и0 + v0t) е-»Ч V = v0e-M, (19.4.23)

и положительные полухарактеристики будут стремиться к точке О. Если

V

Рис. 76. Рис. 77.

V0 = 0, то траектория является частью оси и. Если V0 =^0, то отношение

V V0

и u0-\-v0t (19.4.24)

стремится к нулю, когда t—>• оо, и положительная полухарактеристика входит в точку О вдоль оси Ou. Мы снова имеем устойчивый узел, и все полухарактеристики входят в точку О по направлению оси и (рис. 77). Если X1 > 0, то получаем неустойчивый узел.

Итак, можно утверждать, что если собственные значения вещественны и отрицательны, то особая точка является устойчивым узлом, если же эти значения вещественны и положительны, то особая точка является неустойчивым узлом.
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed