Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы выяснили, таким образом, смысл всех параметров a, ?, за исключением ?t. Формула (18.12.9) показывает, что ?4 = t0, т. е. определяет момент-нахождения планеты в перигелии. Окончательно получаем
OC1==— и,/(2a), ?i = *0. j
a2 = V\ip, ?2= — u0, > (18.13.16)
а,.л = У\1рсоа1, ?3=— Фо- J
Параметры а зависят лишь от а, е, и і. Шесть постоянных а, е, i, t0, и0, ф0 называют эллиптическими элементами.
§ 18.14. Выражение г как функции от t. Поскольку уравнение (18.12.9) содержит только t и г, можно воспользоваться способом § 1.3, развитым для систем с одной степенью свободы, и выразить г в виде функции от t. Отметим, между прочим," что этот способ впервые был применен именно в задаче о движении планеты.
§ 18.14]
ВЫРАЖЕНИЕ г КАК ФУНКЦИИ ОТ t
351
Уравнение (18.12.9) можно переписать в следующей форме:
f-f0=t-7__ г/г = l/±\-——rdr (18.14.1)
J 1/(-2gc1) у(га-г) (г-14) ' И J y(r2-r)(r-rt)
Имеем
1 1
г = г, cos2 уШ-f r2 sin2 уш = а(1 — е cos w), (18.14.2)
так что w представляет эксцентрический угол (в перигелии w = 0); в астрономии эту величину называют эксцентрической аномалией. В этих обозначениях уравнение (18.14.1) принимает вид
__w _
t — t0 = y -^rdw = }/ — (w-esinw). (18.14.3)
о
Отсюда получаем уравнение Кеплера, связывающее положение планеты на орбите со временем:
w — е sin w = п (t — t0), (18.14.4)
где п = У\і/а3. Период обращения по эллипсу равен 2л/п, где среднее движение п представляет среднее по времени значение угловой скорости радиус-вектора планеты; вращаясь равномерно с этой угловой скоростью, радиус-вектор совершает один оборот за период обращения планеты. Уравнение Кеплера было получено нами раньше (см. (5.2.65) и (5.5.6)).
Чтобы найти явную зависимость между t и г, представим г в виде ряда Фурье:
OO
Г =Т6о+2 6s cos sZ, (18.14.5)
а
S=I
где I обозначает п (t—t0), а коэффициент bs определяется по формуле
я а(1+е)
Ъ,=— \— cos sl dl] = -— — sinsH--\ —sin sldr =
я J a ' n L es Jo я J as
2
а(1-е)
я
nas О
^ sin si (ae sin w) dw =
= — [ {cos (si + w) — cos (sl — w)} dw, (18.14.6)
JTS J
о
и так как из (18.14.4) I = w — esinu;, то получаем
5Т
5s = _f_ ^ {cos [(s +1) w — se sin u>] — cos l(s— 1) u? — se sin w]} dw =
O
= ± {/s+1 (se)~J(se)}, (18.14.7)
где /„ (.г) — функция Бесселя:
СІЄ:
і і.
/„ (х) = — ^ cos (пв — X sin 9)
о
(х/п)п f (х/2)2 , (*/2)4__1 M8-U8\
~~ п\ X 1-(ге+1) ^ 1.2.(и + 1)(ге + 2) •••]¦• (^0.1?.о;
Таким образом, мы выразили г как функцию от t.
352
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIII
Для простых расчетов можно вместо явного соотношения воспользоваться уравнениями (18.14.2) и (18.14.4) и выразить г через t с помощью промежуточной переменной w. Аналогичным способом можно выразить и через w:
tg-^ = |/I±Itglu;, (18.14.9)
и, следовательно, косвенным образом через t.
§ 18.15. Угловые переменные. Формулы (18.12.9)-(18.12.11) определяют элементы матрицы (u)rs). Переменная г в течение одного цикла изменяется от T1 до г2 и обратно, переменная Э — от —і до +і и обратно, а переменная Ф возрастает за один цикл на 2я. Таким образом, из формул (18.12.9) — <18.12.11) имеем
©и = 2л/и, O)21 = O, .O)31 = O,
O)12=—2л, ю22 = 2л, O)32 = O1 J- (18.15.1)
W13 = O, O)23=—2я, о)33 = 2я. J
Вводя угловые переменные (§ 18.6), получаем CzG1 = I = 2K^1, q2 = "0= — 2яу1 + 2яг;2, } (18.15.2)
93 = ф0= —-2nv2 + 2nv3. J
«Следовательно,
2Я?/,1 =
2nv2 = l+u0, } (18.15.3)
2яг;з = I + u0 -f ф0. J
Частоты Li1, Li2, Li3 равны между собой, их общее значение составляет л/2я. Координаты г, 9, ф являются периодическими функциями от v с периодом, равным единице, по каждой переменной. Таким образом, все они, как и следовало ожидать, являются функциями от t с периодом 2л/тг. Заданная функция от г, Э, ф может быть выражена как функция от I, и0, ф0 с периодом 2я по каждой из этих переменных.
§ 18.16. Постоянные I,.. Эти параметры с помощью формулы (18.12.8) можно выразить через ос, а стало быть, через эллиптические элементы а, е, і. Найдем сначала Z1:
I1 = 2 j VV(г2-г) (г-г,) *L. (18.16.1)
п
Интегрирование можно произвести различными способами. Используя-эксцентрическую аномалию, получаем
г = а (1 — є cos w), г — T1 = ае (1 — cos w), r2 — г = ae (1 + cos w),
(18.16.2)
и интеграл равняется
I1 = 1/-(=2^) j .^J^ dw = 2я {^ -1/. (18.16.3)
о
Выразив правую часть через а, найдем
7' =2я (17?-(18Л6-4)
18.16]
ПОСТОЯННЫЕ Ir
353
Другой возможный способ мы приведем здесь в качестве иллюстрации приемов интегрирования, хотя в данном случае он особых преимуществ не имеет. Рассматривая г как комплексную переменную, произведем интегрирование по контуру. Чтобы сделать подынтегральную функцию однозначной, произведем в плоскости разрез от T1 до г2. Непосредственно ниже разреза радикал будем считать положительным. Выражение (18.16.1) для I1 можно трактовать как интеграл по простому замкнутому контуру С, охватывающему разрез (рис. 70):