Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 156

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 290 >> Следующая


Мы выяснили, таким образом, смысл всех параметров a, ?, за исключением ?t. Формула (18.12.9) показывает, что ?4 = t0, т. е. определяет момент-нахождения планеты в перигелии. Окончательно получаем

OC1==— и,/(2a), ?i = *0. j

a2 = V\ip, ?2= — u0, > (18.13.16)

а,.л = У\1рсоа1, ?3=— Фо- J

Параметры а зависят лишь от а, е, и і. Шесть постоянных а, е, i, t0, и0, ф0 называют эллиптическими элементами.

§ 18.14. Выражение г как функции от t. Поскольку уравнение (18.12.9) содержит только t и г, можно воспользоваться способом § 1.3, развитым для систем с одной степенью свободы, и выразить г в виде функции от t. Отметим, между прочим," что этот способ впервые был применен именно в задаче о движении планеты.

§ 18.14]

ВЫРАЖЕНИЕ г КАК ФУНКЦИИ ОТ t

351

Уравнение (18.12.9) можно переписать в следующей форме:

f-f0=t-7__ г/г = l/±\-——rdr (18.14.1)

J 1/(-2gc1) у(га-г) (г-14) ' И J y(r2-r)(r-rt)

Имеем

1 1

г = г, cos2 уШ-f r2 sin2 уш = а(1 — е cos w), (18.14.2)

так что w представляет эксцентрический угол (в перигелии w = 0); в астрономии эту величину называют эксцентрической аномалией. В этих обозначениях уравнение (18.14.1) принимает вид

__w _

t — t0 = y -^rdw = }/ — (w-esinw). (18.14.3)

о

Отсюда получаем уравнение Кеплера, связывающее положение планеты на орбите со временем:

w — е sin w = п (t — t0), (18.14.4)

где п = У\і/а3. Период обращения по эллипсу равен 2л/п, где среднее движение п представляет среднее по времени значение угловой скорости радиус-вектора планеты; вращаясь равномерно с этой угловой скоростью, радиус-вектор совершает один оборот за период обращения планеты. Уравнение Кеплера было получено нами раньше (см. (5.2.65) и (5.5.6)).

Чтобы найти явную зависимость между t и г, представим г в виде ряда Фурье:

OO

Г =Т6о+2 6s cos sZ, (18.14.5)

а

S=I

где I обозначает п (t—t0), а коэффициент bs определяется по формуле

я а(1+е)

Ъ,=— \— cos sl dl] = -— — sinsH--\ —sin sldr =

я J a ' n L es Jo я J as

2

а(1-е)

я

nas О

^ sin si (ae sin w) dw =

= — [ {cos (si + w) — cos (sl — w)} dw, (18.14.6)

JTS J

о

и так как из (18.14.4) I = w — esinu;, то получаем



5s = _f_ ^ {cos [(s +1) w — se sin u>] — cos l(s— 1) u? — se sin w]} dw =

O

= ± {/s+1 (se)~J(se)}, (18.14.7)

где /„ (.г) — функция Бесселя:

СІЄ:

і і.

/„ (х) = — ^ cos (пв — X sin 9)

о

(х/п)п f (х/2)2 , (*/2)4__1 M8-U8\

~~ п\ X 1-(ге+1) ^ 1.2.(и + 1)(ге + 2) •••]¦• (^0.1?.о;

Таким образом, мы выразили г как функцию от t.

352

СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

[Гл. XVIII

Для простых расчетов можно вместо явного соотношения воспользоваться уравнениями (18.14.2) и (18.14.4) и выразить г через t с помощью промежуточной переменной w. Аналогичным способом можно выразить и через w:

tg-^ = |/I±Itglu;, (18.14.9)

и, следовательно, косвенным образом через t.

§ 18.15. Угловые переменные. Формулы (18.12.9)-(18.12.11) определяют элементы матрицы (u)rs). Переменная г в течение одного цикла изменяется от T1 до г2 и обратно, переменная Э — от —і до +і и обратно, а переменная Ф возрастает за один цикл на 2я. Таким образом, из формул (18.12.9) — <18.12.11) имеем

©и = 2л/и, O)21 = O, .O)31 = O,

O)12=—2л, ю22 = 2л, O)32 = O1 J- (18.15.1)

W13 = O, O)23=—2я, о)33 = 2я. J

Вводя угловые переменные (§ 18.6), получаем CzG1 = I = 2K^1, q2 = "0= — 2яу1 + 2яг;2, } (18.15.2)

93 = ф0= —-2nv2 + 2nv3. J

«Следовательно,

2Я?/,1 =

2nv2 = l+u0, } (18.15.3)

2яг;з = I + u0 -f ф0. J

Частоты Li1, Li2, Li3 равны между собой, их общее значение составляет л/2я. Координаты г, 9, ф являются периодическими функциями от v с периодом, равным единице, по каждой переменной. Таким образом, все они, как и следовало ожидать, являются функциями от t с периодом 2л/тг. Заданная функция от г, Э, ф может быть выражена как функция от I, и0, ф0 с периодом 2я по каждой из этих переменных.

§ 18.16. Постоянные I,.. Эти параметры с помощью формулы (18.12.8) можно выразить через ос, а стало быть, через эллиптические элементы а, е, і. Найдем сначала Z1:

I1 = 2 j VV(г2-г) (г-г,) *L. (18.16.1)

п

Интегрирование можно произвести различными способами. Используя-эксцентрическую аномалию, получаем

г = а (1 — є cos w), г — T1 = ае (1 — cos w), r2 — г = ae (1 + cos w),

(18.16.2)

и интеграл равняется

I1 = 1/-(=2^) j .^J^ dw = 2я {^ -1/. (18.16.3)

о

Выразив правую часть через а, найдем

7' =2я (17?-(18Л6-4)

18.16]

ПОСТОЯННЫЕ Ir

353

Другой возможный способ мы приведем здесь в качестве иллюстрации приемов интегрирования, хотя в данном случае он особых преимуществ не имеет. Рассматривая г как комплексную переменную, произведем интегрирование по контуру. Чтобы сделать подынтегральную функцию однозначной, произведем в плоскости разрез от T1 до г2. Непосредственно ниже разреза радикал будем считать положительным. Выражение (18.16.1) для I1 можно трактовать как интеграл по простому замкнутому контуру С, охватывающему разрез (рис. 70):
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed