Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 157

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 290 >> Следующая


j1= V-UX1 J У(г2-г) (t-t1) -^-

(18.16.5)

Рис. 70.

Обозначим через Г окружность , большого радиуса с центром в точке О, а через у — малую окружность с центром в той же точке; тогда подынтегральная функция будет регулярна в замкнутой области, ограниченной снаружи

окружностью Г, а изнутри — контуром С и окружностью у. Можем написать

J-H-

(18.16.6)

Здесь интегралы берутся по контурам, проходимым в положительном направлении (против часовой стрелки). Имеем

\ V'(ra-r)(r-rt) ^=- і J V(T2-T) (T1-T)^-.

(18.16.7)

Подынтегральная функция имеет простой полюс в начале координат с вычетом Vt1T2, так что интеграл будет равен

— i-2niVnr~2 = 2л VrO-Z- (18.16.8)

Для интеграла по большой окружности получаем

j V(t2-t) (V-T1)^r=I \ У (t-t1) {r-r2)^r = i J V(I-I4«) (1 —r2i) -g-. (18.16.9)

Г Г v'

Здесь мы перешли к новой переменной t = 1/г и обозначили через у' малую окружность с центром в точке t = 0. В начале координат подынтегральная функция имеет полюс

\

второго порядка с вычетом--- (t1 + г2), так что интеграл (18.16.9) равен

і

— i-2ni- (г1 + г2) = я (rt + r~).

Окончательно получаем

J1 = У — 2Ct1 {я (rt + T2) — 2я VnT2} =

^у-^{^^_2„_=а==.1==2я (—JL^a2) , »\(-2oi) V-Ua1J \У-2сч /

что совпадает с полученным выше результатом.

Далее, имеем

г

I2 = 2 j Va2-a* sec2 Є dB.

— і

Применив подстановку

sin 8 = sin і sin и,

(18 16.10)

(18.16.11)

(18.16.12) (18.13.8)

23 л. А. Парс

354

СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

[Гл. XVIIl

преобразуем этот интеграл к виду

1

і 2Я

т г, Гі /—-. о a dQ 0 j* sin2 і ccs2 u j

і о = 2ос2 \ I7 sin2 і — sin2 0-5- = 2а, \ -. .. . „— du =

2 J cos0 1—SIn2JSm2U

"2 я

1

= 2tt2 J (1 -1 - sin2''sin2 в ) ^ = 2а,я (1 - соs 0 = 2я (а, - O8). (18.16.13) і

"2 я

Вводя эллиптические элементы, находим

/а = 2я У~\їр (1 — cos ї). (18.16.14)

Наконец,

I3 = 2яа3 = 2я V^P cos і. (18.16.15)

Итак, имеем

1г = 2п(—А===-—аЛ, /2 = 2я(сс2-сс3), /3 = 2яа3. (18.16.16) V у — 2а4 /

Отсюда следует, что

/1 + /2+^3 = 2nLi/K-:2oT;, (18.16.17)

и, следовательно,

ai =¦ -2яу/(Л +I2+ I3)K (18.16.18)

Мы здесь имеем пример особого случая, который упоминался в § 18.8. Постоянная энергии CC1 зависит от единственной линейной формы от /, и вопрос о периодичности или непериодичности движения решается независимо от начальных условий. В самом деле, в рассматриваемом случае все частоты системы одинаковы и, поскольку OC1 < 0, движение всегда периодично.

Общая величина частот равна

ft - Из = Из = -gg- (Z1 + Z2 + ^ ' <18Л6-19>

или

Мы, таким образом, пришли к результату, уже полученному нами в § 18.15.

Переменные и можно выразить через величины, определяющие положение планеты. Для этой цели заменим в формулах (18.15.3) величину I на w — є sin w, тогда получим

2nvi = w — е sin w, )

2nv2 = w — e sin w + u0, \ (18.16.21)

2nv3 = w— e sin U0-J-ф0. J

Эти формулы эквивалентны соотношениям, связывающим переменные q и v; они легко выводятся на основе теории, изложенной в § 18.9. Чтобы получить выражение для К', достаточно заменить параметры d в формулах (18.12.8) их значениями, выраженными через Z:

«1= (Z1+Z2+Z3)2 ' «2 = ТйГ(/2 + /з>' «3 = -2^-/3-. (18.16.22)

; Тогда формулы (18.16.21) непосредственно следуют из уравнений (18.9.6).

§ 18.18]

НЕОРТОГОНАЛЬНЫЕ И НЕНАТУРАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

355

§ 18.17. Возмущения. До сих пор мы рассматривали движение одной планеты относительно Солнца. Выясним теперь, какое влияние на это движение окажет наличие второй планеты.

Орбитой относительного движения первой планеты, строго говоря, теперь уже не будет эллипс. Если, однако, вторая планета имеет достаточно малую массу и удалена на достаточно большое расстояние, то ее влияние на движение первой планеты будет мало. Поэтому можно считать, что эллиптическая орбита первой планеты под влиянием возмущающего действия второй планеты медленно изменяет свои параметры. Исследование этих возмущений составляет основную задачу небесной механики. В настоящей книге мы не имеем возможности подробно останавливаться на этих вопросах, хотя позднее, в § 25.3, им будет уделено известное место. Здесь же мы ограничимся тем, что составим выражение для возмущающей функции R.

Обозначим массу Солнца через М, массу первой планеты — через Wi1 (см. § 18.12), а массу второй планеты — через тп2. Пусть расстояния планет

от Солнца будут равны соответственно г4 и г2, а расстояние между планетами г12. Ускорения Солнца и первой планеты выражаются суммами векторов, показанных на рис. 71, а. На рис. 71, Ъ показано ускорение первой планеты относительно Солнца. Обозначая через X1, Zy1, Z1 и х2, у2, Z2 координаты первой и второй планет относительно Солнца, можем написать следующее уравнение:

Ч гі П r2 rfs rn dxt к ' v '

Входящий сюда «гравитационный потенциал» U — — V равен
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed