Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
363
убывает, обращаясь в нуль вместе с х; функция / (х) также монотонно убывает и обращается в нуль при х=0. Можно считать, что V (0) = 0, так что V (х) > 0 при х Ф 0 и монотонно возрастает с ростом х. При этих условиях движение представляет собой затухающее колебание, как это имело место в рассмотренном выше примере. Для доказательства
1
заметим, что с ростом t энергия у уг + У монотонно убывает и при t оо стремится
к предельному значению С ^ 0. Случай С > 0, однако, невозможен. В самом деле, если предположить, что С > 0, то мы имели бы
±у2 + 7 = С
(19.2.20)
и это соответствовало бы периодическому колебанию с постоянной энергией С на отрез-0 < X2- Соответствующей траекторией в плоскости ху была бы замкнутая овальная кривая, подобная кривой Г (проведенной сплошной линией на рис. 74). С дру-
1
гой стороны, если выражение у г/2 + V монотонно
убывает, приближаясь к значению С, то изображающая точка в плоскости ху описывает спираль,
ке {X1, X2) ОСИ X, Xi
if
1A
9
\ \ і ' ¦
1 Yx
0 хг) і
\ \
у і
v ^ \
--¦----- ^ ^
-----
Рис. 73.
Рис. 74.
стремящуюся к кривой Г (пунктирная кривая на рис. 74). При этом за промежуток времени между двумя последовательными минимумами х энергия убывает на величину, превышающую К, где
Х2
(19.2.21)
Через у здесь обозначена положительная функция от х, график которой представляет часть кривой Г в верхней полуплоскости. Но К > 0, так что спустя конечное число колебаний (между двумя последовательными минимальными значениями х) энергия будет меньше С, каково бы ни было ее начальное значение. Таким образом, предположение, что С > 0 приводит к противоречию, откуда следует, что (7=0. Траектория изображающей точки в плоскости ху имеет форму спирали, приближающейся к точке О (спираль имеет вид, показанный на рис. 73); двигаясь вдоль оси х, частица стремится к положению равновесия О. Все эти результаты интуитивно понятньь
§ 19.3. Система с одной степенью свободы. Перейдем теперь от простых частных случаев к рассмотрению автономной системы общего вида при т = 2. Имеем векторное поле JP(обозначаемое в общем случае через X), составляющие которого Р, Q принадлежат к классу C1 в области D плоскости ху. Уравнения движения имеют вид
х = Р(х, у), 'у = Q(x,y) (19.3.1)
(движение системы мы представляем движением изображающей точки в плоскости ху).
364
СИСТЕМЫ C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
Точка х, у называется обыкновенной или регулярной, если для нее выполняется неравенство P2 + Q2 > 0; если же P = Q = O, то она называется особой точкой. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь такие векторные
поля, для которых особые точки являются изолированными и якобиан ^ ^
отличен от нуля.
Траекториями будут дуги силовых линий, определяемых уравнениями
(19.3.2)
При этом, как уже отмечалось, через всякую регулярную точку проходит одна-единственная силовая линия. Заданной точке А области D соответствует единственное движение изображающей точки, при котором в момент t = 0 она занимает положение А. Если А есть особая точка, то проходящая через нее траектория вырождается в самое эту точку, так что имеет место состоя- ¦ ние покоя. Если же А есть обыкновенная точка, то изображающая точка удаляется от А вдоль проходящей через А силовой линии, с которой совпадает соответствующая траектория.
Ниже мы увидим, что особые точки (дающие положения равновесия) и замкнутые силовые линии (дающие периодические орбиты) играют особую роль при изучении движения системы. Начнем с изучения движения в окрестности особой точки.
§ 19.4. Движение в окрестности особой точки. Линейное приближение.
Возьмем начало координат в особой точке. Производя разложение в окрестности особой точки (г = Vx2 + у2 мало), будем иметь
Р = ах + Ьу + г(х, у), \
f (19 4 1)
Q = cx + dy + v\(x,y), J
причем ad — be =^=0 и величины г/г, ц/г стремятся к нулю вместе с г. (В простых случаях є и т) имеют порядок О (г2).) Естественно ожидать, что линейное приближение (т. е. приближение, определяемое одними только линейными членами, без учета членов, содержащих є и п) даст нам возможность судить о поведении движения и в общем случае. Поэтому начнем с рассмотрения более простой задачи, когда уравнения имеют вид
х = ах4-Ьц, І
(19.4.2)
y = cx-ydy, )
или, в матричной записи,
х = Ах. (19.4.3)
Здесь x обозначает матрицу-столбец {х, у}, а А—неособенную матрицу
а-
Как мы увидим, результаты исследования существенно зависят от собственных значений матрицы Л, определяемых как корни уравнения
\Х1-Л\ = 0 (19.4.4)
или, что то же,
X2 — X (a + d) + (ad — be) = 0. (19.4.5)
§ 19.4] ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ. ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 365
Если произвести линейное преобразование
X = Си, (19.4.6)
где С — неособенная матрица, а и есть вектор (матрица-столбец) {и, v}, то уравнение (19.4.3) перейдет в следующее:
и = Ви, (19.4.7)
