Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
движение частицы под действием силы, зависящей от їй і (но не от t). Возникает вопрос: почему нельзя обобщить полученные результаты на случай т >¦ 2? Невозможность такого обобщения связана, в частности, с тем обстоятельством, что, согласно теореме Жордана, простая замкнутая кривая Г, расположенная в плоскости П, делит область П — Г на две отдельные области, внутреннюю и внешнюю, с общей границей Г. В пространстве более чем двух измерений подобная теорема не имеет места.
§ 19.2. Движение частицы по прямой. Обозначим через х смещение частицы в некоторый момент t относительно фиксированного начала координат О, выбранного на прямой. Если через т обозначить массу частицы, а через mF — действующую на нее силу, где
F = F (х, 'х, Ґ), (19.2.1)
то уравнение движения будет иметь вид
У = F. (19.2.2)
Заменим это уравнение двумя уравнениями первого порядка типа (19.1.2), тогда будем иметь
г = У, У = F (х, у, *). (19.2.3)
Если функция F не содержит t, то система будет автономной.
Выше мы уже встречались с несколькими примерами подобных систем. В § 1.2 была рассмотрена задача о движении точки в силовом поле, когда функция F зависит только от х.
Движение частицы под действием силы, зависящей от скорости (например, движение-в сопротивляющейся среде), также представляет собой простую задачу. Уравнение движения в этом случае имеет вид
X = f(x), (19.2.4)
и если сила обусловлена сопротивлением среды, то функция / (х) обращается в нуль вместе с X и является монотонно убывающей. Представляет интерес случай, когда условие xf (х) ^ 0 не выполняется; в этих случаях говорят об отрицательном трении. Уравнение (19.2.4) эквивалентно системе двух уравнений:
y"'=f(y), (19.2.5)
причем второе из них не связано с первым, так как содержит только переменные у и t. Траектории в плоскости ху можно определить из уравнения
і (І ='<">• (19-2-6>
Кроме того, имеем
-зг(т (19-2л)
и для сопротивляющейся среды правая часть отрицательна (за исключением случая у = 0), так что кинетическая энергия движения всегда убывает с ростом t.
*) Сделаем одно терминологическое замечание. Поскольку речь идет о кривых в пространстве as, а не в пространстве (ж, t), логичнее было бы говорить о положительных и отрицательных полутраекториях, а не о полухарактеристиках. Тем не менее в дальнейшем мы будем придерживаться введенных здесь терминов.
362
СИСТЕМЫ C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
Классической задачей, приводящейся к уравнениям типа (19.2.1), является задача о движении частицы в однородном силовом поле при сопротивлении, пропорциональном скорости. Уравнение движения в этом случае имеет вид
"х = — g — к'х, (19.2.8)
где x измеряется в направлении, противоположном направлению поля. Решение, удовлетворяющее начальным условиям: при t = 0 х = х0, х = у0, имеет вид
к (х - X0) = (с + уй) (1 — егМ) — с (kt), (19.2.9
где с есть терминальная скорость gl к. Траектория в плоскости ху описывается уравнением
к (х-х0) = Уо-у-с In ("^y-). (19.2.10)
Прежде чем перейти к общей теории, остановимся на вопросе о движении в сопротивляющейся среде под действием сил неоднородного поля общего вида. В этом случае
функция F задается суммой функции от х и функции от х и уравнение движения записывается в форме
dV
x=--=- + f(x). (19.2.11)
Отсюда следует, что
(1x2 + f)=x/(x), (19.2.12)
d dt
е-М (a cospf + ^-^ sinpij , (19.2.14)
и если сила mf (х) обусловлена сопротивлением среды, то правая часть уравнения отрицательна, и энергия T -+- V монотонно убывает.
Рассмотрим в качестве примера осциллятор в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Уравнение движения такого осциллятора имеет вид
'х -\- 2к'х -\- п2х = 0. (19.2.13)
Будем рассматривать случай «слабого» сопротивления, когда 0 < к < п. Решением, удовлетворяющим начальным условиям: х = а, х = и при t = 0, будет
Aa-j-u P
где р = ~\/п2 — к2. Выбрав подходящим образом начало отсчета времени, запишем решение в виде
X = Ае-Ы gin pt. (19.2.15)
Отсюда
у = *r = Ae-M (р cos pt — к sin pt). (19.2.16)
Определив острый угол а соотношениями
cos a _ sin a __ 1 (19 2 17)
p к n '
перепишем решение в следующей форме:
х = Ае~в *в a sin 0, 2Z = ^-61S01COS (Є-f a), (19.2.18)
где 0 = pt. Эти уравнения определяют спиральную кривую, приближающуюся к точке О (рис. 73); она обладает свойством, выражаемым формулой
X(O-I-Jt) _ у (8+ я) ..... -jttg« HQ 2 Ш
*(Є) ~ У (9) -
Колебания осциллятора, совершаемые вдоль прямой, затухают, и изображающая точка стремится к положению О, соответствующему состоянию покоя.
Задача о вынужденных колебаниях осциллятора при наличии затухания рассматривалась нами в § 9.10.
Движения, подобные только что описанному, составляют широкий класс задач, и прототипом для них служит осциллятор. Пусть X (х) обозначает силу притяжения
к точке О, а / (х) — сопротивление трения. Функция X (х) монотонно убывает
S 19.3]
СИСТЕМА C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
