Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
аг = a,. (qs0, Ps0), г = 1, 2, . . ., ге, (15.8.12)
Pro= — 4f- = Pro(qsu\ Язі', *о, h), 7-=1,2, re. (15.8.13)
Заметим попутно, что п функций в правой части (15.8.12) нельзя задавать произвольно: они должны удовлетворять определенным условиям, которые будут указаны в дальнейшем. С помощью уравнений (15.8.12), (15.8.13) образуем функцию S', перейдя в выражении для S от переменных qr0 к переменным а. Для каждого qr0 в S нужно написать формулы перехода:
Яго = Яго (?; *о, h). (15.8.14)
На первый взгляд может показаться странным, что производные dSldqri и dS'/dqri дают одно и то же выражение для рт1. Решение этого парадокса найти нетрудно: оно связано с условием (15.8.7). Имеем
dS.=dS = ____ (PlH das + РШ dgsi + PJr1J1 +
dqr0 \ das ' dqsl *sl^ Ot0 0 Ot1 1
dq
та
'It1) +
, , dS , _ , dS , /_-„.-
._^г1+_^ + _Лі. (15.8.15)
280
ШЕСТАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. XV
Но
?(?-«*+^+?*-*-?-"*) <15-8-'6>
в силу (15.8.7) сводится просто к — ?r dar; поэтому коэффициент при каждом дифференциале dgsi в (15.8.16) тождественно равен нулю. Таким образом, кажущееся противоречие исчезает.
5) Преобразование (ar, ?r) в (qTi; рті) сохраняет меру:
w?H- (15-8Л7)
В самом деле, при переходе от (аТ, ?r) к (qr0, рг0) мера сохраняется; это доказывается аналогично тому, как это делалось выше в п. 3. Этим же свойством обладает преобразование (qr0, рг0) в (qri, pri) при фиксированных значениях t0, t±. Поэтому произведение этих двух преобразований, т. е. переход от (аг, ?r) к (qrl, pri), также является преобразованием, при котором сохраняется мера.
6) Периодические траектории. Рассмотрим теперь систему, для которой существует семейство периодических траекторий.
В некоторых системах все траектории являются периодическими. Например, как уже отмечалось в гл. IX, если мы имеем колебательную систему, для которой отношение двух любых периодов есть число рациональное, все движения являются периодическими. Обозначим периоды свободных колебаний через 2л/и.г (г = 1, 2, . . ., п). Если существуют целые положительные числа /тг-1, m2, . . ., тп такие, что
-^- = -^-= ...=-^- = w, (15.8.18)
то все движения будут периодическими с периодом 2л/со. Это утверждение справедливо независимо от начальных условий. Простым примером может служить изотропный осциллятор. В других системах периодическими являются все траектории, которые начинаются в некоторой области фазового пространства. Если, например, частица движется к центру под действием ньютоновского притяжения Lim/r2, то траектория, начинающаяся в момент t = О из точки х, у, z, рх, ру, pz фазового пространства, будет периодической, если начальная точка лежит в области
(Ж2 +у2+ Z2) (pi + рШ + pl) < 4^2_ (15-8.19)
В этом примере (ньютоновская орбита) период зависит от начальных условий, тогда как в предыдущем примере (колебательная система) он от них не зависел.
Имеются системы, обладающие как периодическими, так и непериодическими траекториями.
Рассмотрим натуральную систему, обладающую однопараметрическим семейством периодических траекторий. Построим функцию S для одной из них, т. е. для какой-либо замкнутой траектории. Так как начальная и конечная точки в данном случае совпадают, то равенство (15.5.2) принимает вид
S = S (qr0; а),
где а — период. Но функция S фактически не может зависеть от qr0, поскольку ничто не изменится, если в качестве начальной будет взята какая-либо другая точка замкнутой траектории; поэтому
S = S (а). (15.8.20)
§ 15.9] ПРИМЕРЫ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ФУНКЦИИ 281
Перейдем теперь к соседней кривой семейства периодических траекторий, тогда формула (15.5.11) запишется в виде
dS = —h da,
где h есть (постоянное) значение H на рассматриваемой периодической траектории. Таким образом,
(15.8.21)
Мы получили, что в семействе периодических траекторий постоянная анергии h зависит только от периода о.
§ 15.9. Примеры непосредственного вычисления главной функции. Найдем главную функцию для нескольких простых частных случаев.
1) Однородное поле. Частица массы т движется в плоскости под действием однородного поля (0, —mg). Движение, как и в случае (15.6.2), определяется формулами
X-X0=U0 (t—t0),
, 1 , J> (15.9.1)
!/-90=?!*-?)—^«!'-?)
Здесь V = gy и
-}
Ii
S = j |у(і2 + Й-да} dt. (15.9.2).
(о
Результат интегрирования следует выразить через (х0, у0, хи yt, t0, tx). Проделав этог будем иметь
S = 2{ц-Ц) {{Хі~ *о)2+(</i - </о)2} - у Я Ci-*b) Un + м)--34-Я2 («і-*b)»- (15'9'3>
Легко проверить, что функция S обладает перечисленными ранее свойствами. Например, уравнения (15.8.1) дают нам решение задачи Лагранжа о движении в плоскости ху:
dS _ X1 — х0 I
М° дх0 - Ц-Ц I (15.9.4}
dS Уі — У0 1 . .
2) Гармонический осциллятор. Для этого случая имеем
х = х0 cos п (t—10) -f -у- sin п (t— t0) (15.9.5)-
и
tl
S = j у (і2— rflxi) dt. (15.9.6)
