Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, если H не содержит явно t и если одна из координат, скажем qn, является циклической, то можно произвести дальнейшее упрощение. Положим в равенстве (16.5.3)
К = yqn + К', (16.5.8)
S 16.6]
ОДНОРОДНОЕ ПОЛЕ
291
где К' зависит от (qt, q2, • . ., <?n-i)> от /г = Ct1, от у = ап и от п — 2 остальных произвольных постоянных а2, а3, . . ., a„_i. Координата qn не входит в Ж, и функция .ИГ' является полным интегралом уравнения
Интегралы гамильтоновых уравнений движения имеют вид
t-t0 = ^-, (16.5.10)
-?r = r = 2,3, .... n-1, (16.5.11)
с/по = +-^-. (16.5.12)
^ = ^7' г=1,2, .... (16.5.13)
Pn = У (16.5.14)
(здесь—?„ обозначено через CJ7J0). Постоянная 7 = ап определяется, очевидно, значением (сохраняющегося) импульса, соответствующего циклической координате qn, а постоянная qn0 = —?n зависит лишь от выбора начала отсчета координаты qn. Значение qn в момент t нас обычно не интересует, и уравнение (16.5.12) поэтому не рассматривается.
Наконец, часто К удается представить в виде суммы функций, каждая из которых зависит лишь от одной координаты q (и, разумеется, от постоянных а или части их). Если для уравнения (16.5.4) существует полный интеграл такого вида, то говорят, что система допускает разделение выбранных координат. К таким системам относятся почти все системы элементарной динамики. Возможность разделения переменных зависит как от самой системы, так и от выбранных для ее описания лагранжевых координат.
§ 16.6. Однородное поле. Рассмотрим теперь приложения теоремы Гамильтона — Якоби к решению конкретных задач. Начнем с исследования трех простых примеров, для которых в § 15.9 мы нашли явный вид главной функции. Эта функция сама представляет полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, но те полные интегралы, которые мы получим для каждого из рассматриваемых случаев, фактически не будут главными функциями.
Рассмотрим движение частицы в плоскости ху под действием однородного поля (0, —g). Считая массу частицы равной единице, можем написать
H = T(pl+pl) + gy. (16.6.1)
Уравнение Гамильтона в частных производных запишется в виде oS , 1 / oS V 2 1 / dS \2
Требуется найти решение этого уравнения, содержащее две произвольные постоянные. Легко убедиться, что найденная в § 15.9 главная функция
~{(х-X0)2 + (у-у0Г -1 gt (у + у0)-LgH3 (16.6.3)
удовлетворяет уравнению (16.6.2) при произвольных значениях X0 и у0.
Наша задача, однако, состоит в том, чтобы указать, как найти полный интеграл. Поскольку функция H не содержит t, а координата х является циклической, можем написать
S = —Ы + ах + ф (у). (16.6.4)
19*
292
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
[Гл. XVI
Подставляя это выражение в уравнение (16.6.2), получаем
ф'2 = 2h - 2gy -a2 = 2g (к- у), (16.6.5)
где
h = \a*+gk. (16.6.6)
(Легко установить геометрический смысл параметра к: это — наибольшая высота, достигаемая движущейся частицей.) Для ср имеем выражение
h . h-y
Ф= j Y2g(к-z) dz = У'2g j /и du. (16.6.7)
V 0
(При желании можно, конечно, вычислить последний интеграл, но в этом нет необходимости.) Таким образом, мы получаем полный интеграл, содержащий два параметра а и к:
h-y
S = — (у a2+gk} t+ ах+ V2g j Yudu. (16.6.8)
о
Движение в плоскости ху описывается уравнениями
-y = ^-=-St + V2g{k-y),
(16.6.9)
дк
которые, как легко видеть, совпадают с известными элементарными формулами.
Уравнения (16.6.9) можно переписать в виде
X+P= at, \
,-(*-?)-*->• 1 <ши0)
Тогда станет ясным смысл введенных параметров:
CC = U0, y = V0, I Mfifil-M
? =-х0, к = у0+{оЦ2ё). J ( ;
Здесь х0, у0 — координаты начальной точки в момент t = 0, а и0, V0 — начальные скорости. Заметим, что
h = \a? + gk=\ (ul + vi) + gy0 (16.6.12)
и
h-y = ^{y-gtf (16.6.13)
(постоянная к, как уже указывалось, равна наибольшей высоте подъема).
§ 16.7. Гармонический осциллятор. В этом случае
H=^{jP+n*x*) (16.7.1)
и уравнение Гамильтона в частных производных имеет вид
Легко проверить, что найденная ранее главная функция
.^.+ «.Jctg»*--^ (16.7.3)
§ 16.7]
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
293
удовлетворяет уравнению (16.7.2) при всех значениях а. Здесь а = х0 есть начальное значение х; мы будем считать, что а > 0. Чтобы найти полный интеграл, положим
S = — In2GA+ф И- (16.7.4)
Это выражение удовлетворяет уравнению (16.7.2), если
ф'2 = „2 („2 _ ^)- (16.7.5)
Для ф примем выражение
x
Ф = п \ Va2-у2dy. (16.7.6)
Следовательно,
[S = —^n2a2t+n j Va2-y2dy. (16.7.7)
о
Из теоремы Гамильтона — Якоби получаем
X
-? = -g- = -ra2af+TOCT 1 dy. (16.7.8)
что можно записать в обычной форме:
X = a sin п (t — t0), (16.7.9)
где ? = n2at0.
Выясним, как связаны между собой оба полученных полных интеграла. Рассмотрим сначала решение
1 пха - .~
S0 = у п (** + Ф) ctg nt - -^7/+ <*' (16.7.10)
и положим в нем
а' = Ф (а, а, а'), (16.7.11)
считая, что функция Ф ? Си а в остальном произвольна. Тогда правая часть (16.7.10) будет иметь вид F (х, t, а, а, а'). Из теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка известно, что если решить уравнение
