Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
HF
++ = 0 (16.7.12)
да
относительно а и подставить это значение в F, то мы получим новый полный интеграл-Надо показать, что при надлежащем выборе функции Ф мы придем этим путем к функции (16.7.7) с аддитивной постоянной а'. Положим
а
а'=п j Va2—y2dy + a' (а > а > 0). (16.7.13)
о
Тогда уравнение (І6.7.12) запишется в следующей форме:
actgnt--А--1- Va2— а2 = 0. (16.7.14)
sin nt
Это уравнение нужно решить относительно а и результат подставить в F- Перепишем уравнение (16.7.14) в виде
X = a cos nt + Va2 — a2 sin nt (16.7.15) и положим a = a sin 0, тогда будем иметь
X = a sin (nt -\- 9) = a sin -ф, (16.7.16)
294
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
[Гл. XVI
где ib = nt + 6. Таким образом,
1 1 ПХа 1
F = — пх* ctg nt + ¦= па* ctg nt--+=—+— na* (26 + sin 26) + a' =
z slil TIt 4
і і
= у re«2 sin2 4> ctg nt-\—^ na* sin2 9 ctg nt—
na* 1
- sin^ sin6 sinTfr-f— геа2(29 + зіп2Є) + а'. (16.7.17)
Ho
1 1
Y na* sin2 6 ctg nt+— na* sin 29 =
1 na2
= -r-rea2sin9 (sin9 ctgref+cos9) = ——.--sin 9 sin гр, (16.7.18)
z Z sin nt
так что функция (16.7.17) принимает вид
1 па* 1
F= —па2 sin* гр ctg nt~ . sin 6 sin ty+-r па* (26) + a' =
A z slil TIt 4c
na* sin ib . , . , 1 /on^ , , na2 sin ib .
= —:-г— (smibcos rei—sin 6)+^ na* (29) + a' = „ .-—— cos ib sin nt +
2smrai ' 1 4 ' 2sinn? T
1 11
+-r-na2 (2ty—2nt) + a' = ——n2a*t+ — na* (2ib + sin 2ib)+a' =
= — -jn*a*t + n j Va2 —y*dy + a' =S + a'. (16.7.19) о
Таким образом, подставив в (16.7.17) значение а, найденное из уравнения (16.7.14>, мы действительно получили новый полный интеграл.
В заключение остановимся коротко на одном обстоятельстве, имеющем важное значение для приложений теоремы Гамильтона — Якоби. Мы видели,
что выражение — у n2cc2t + ср (х) является полным интегралом уравнения
(16.7.2) при условии, что функция ср удовлетворяет дифференциальному уравнению
ср'2 = п2 (а2 — X2), (16.7.5)
и приняли ср в виде (16.7.6), причем нижний предел интеграла взяли равным нулю. В качестве нижнего предела можно было бы взять один из нулей функции, стоящей под радикалом, например —а. В дальнейшем нам часто будут встречаться случаи, когда полный интеграл содержит слагаемое ср (q), причем ср удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
ф'а = / (?)
(функция / (q) содержит, разумеется, еще параметры а). Таким образом,
я
Ф = j VJJx) dx,
и в качестве нижнего предела интегрирования можно взять либо абсолютную постоянную, либо простой нуль а функции / (q). Обычно выбирают вторую возможность, и в этом случае нижний предел интегрирования оказывается зависящим от a. Но при вычислении частной производной dS/da дифференцирование, как и прежде, производится только под знаком интеграла; от того, что нижний предел есть функция ar, новые члены не появляются, поскольку подынтегральная функция при а обращается в нуль.
Операция дифференцирования по аг под знаком интеграла приводит к несобственному интегралу, в котором подынтегральная функция обращается в бесконечность на одном из пределов интегрирования. (Например, интеграл
$ 16.9]
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ОРБИТА
295
в правой части равенства (16.7.8) будет несобственным, если нижний предел интегрирования взять равным —а.) Но интеграл сходится, так что правило вычисления производной путем дифференцирования под знаком интеграла остается в силе *). В этой задаче мы фактически уже встречались со сходящимися несобственными интегралами: в уравнении (16.7.8) х мог принимать значения а и —а, и при этих значениях х интеграл в правой части становился несобственным, уравнение же (16.7.8) оставалось справедливым и для этих значений х.
§ 16.8 Частица в переменном поле At. Для системы, рассмотренной в § 15.9, п. 3,
имеем
Н = ~ p*~Atx. (16.8.1)
Уравнение Гамильтона в частных производных записывается в виде
dt + 2
Легко проверить, что главная функция
^^.у—Atx = 0. (16.8.2)
(X-X0P+^ AP (2х + хо)—^АФ, (16.8.3)
полученная в § 15.9, удовлетворяет уравнению (16.8.2) при всех значениях х0. Найдем полный интеграл. Положим
S = ^ А&х + ах — ф(і). (16.8.4)
Это будет полным интегралом, если
ф,=т (тАі*+аУ' ф=жлць+\Aat3 +таЧ- (16-8-5)
Решение задачи Лагранжа дается уравнением
BS 1
-$ = Jj— = X-at- — At*, (16.8.6)
совпадающим с (15.9.11) при t0 = 0.
. § 16.9. Центральная орбита. Применим метод Гамильтона — Якоби к решению некоторых хорошо известных задач динамики. Рассмотрим сначала задачу о движении частицы в центральном поле с потенциалом V (г).
Выбрав в качестве лагранжевых координат г, 0, представим функцию H в виде
н = т(РЛ' + -7*-Р*>)+У- (16-9Л>
(Напомним, что для натуральной системы
H = T + V
и в ортогональных криволинейных координатах (§ 10.14) функция T может быть выражена через переменные р.) Модифицированное уравнение в частных производных (16.5.4) запишется в виде
Требуется найти решение, которое бы, кроме h, содержало еще произвольную постоянную а. Поскольку координата 0 циклическая, полагаем
