Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
dU _ дрг ддг дЦт дН ддг дН дрт
ду3 ~ dy3 dt ' Pr Oy3 dt dqT dy3 дрт dys ~~
поскольку qr, рт удовлетворяют равенствам (16.3.9). И так как
-гЧг = -Й-' (16.3.15)
ay3 dt dt ay3 y
TO
dU дЦг , дрт dqr OU3
dy3 ^ dt dy3 ' dt dy3 dt Введем теперь функцию op = op (у; t) такую, что
(16.3.16)
Q=U. (16.3.17)
Тогда
и, следовательно,
dUs _ dU д2гр. _ дЦ dt dys ду3 dt dt ду3
(16.3.18)
U3=AL+Ks! (16.3.19)
где K3 есть функция, зависящая только от у и не зависящая от t. Окончательно находим
Ptdqr-Hdt = At.dt-t- (AL+ K3) dys = dq+ Ksdys, (16.3.10)
что и требовалось доказать.
Доказательство второе (обратная теорема). Поскольку
Pr dqr - H dt = dip + K3 dys, (16.3.20)
§ 16.4]
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВТОРОЕ)
289
имеем
Рг^Г-Н = Ъ (16-3.21)
Pr -fg- = -?- + *., 5 = 1,2,...,2/2. (16.3.22)
Учитывая, что
dt ays dys dt *
получаем
IT ^TJ- dys \Pr dt }-~^;- d4r dys~ dPr dys- (10-«5-^ Но так как
дЦг дЦт
dt ays dys dt '
то уравнение (16.3.23) можно переписать в виде
)=<>• (»6.3.24)
Всего мы имеем Ih таких уравнений, по одному для каждого 7. Определитель из коэффициентов отличен от нуля, и, следовательно,
If = Ib -It'-Ж <«А9)
Теорема об эквивалентности, таким образом, полностью доказана.
§ 16.4. Теорема Гамильтона — Якоби (доказательство второе). Теорему Гамильтона — Якоби можно вывести непосредственно из теоремы об эквивалентности. Пусть S = S [q; a; t) будет полным интегралом уравнения Гамильтона в частных производных
f- + Я(д;-|.;*)=0. (16:4.1)
Выразим q и р через а, ?, t с помощью формул
dS
Pr = ~dq7 r=l'2. •••• п> (16.4.2)
-Pr = -— r = l,2, п. (16.4.3)
В результате получим общее решение уравнений Гамильтона. Для доказательства представим форму pr dqr — H dt в переменных а, ?, t, тогда будем иметь
Pr dqr — Н dt = -Щ- dqr -f- -Ц- dt = dS — -^- dar = dip + ?r dar, (16.4.4)
где через \|) обозначена функция S, выраженная в переменных а, ? , t. Величины q и р являются независимыми функциями от (а; ?; t); действительно (см. § 15.8, п. 3),
^ рлг\ =1. (16.4.5)
o (аг; ?r) V '
Из равенства (16.4.4) в силу обратной теоремы об эквивалентности следует, что qr, Pr удовлетворяют уравнениям движения Гамильтона. Теорема, таким образом, доказана.
19 Л, А. Парс
290
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
[Гл. XVI
§ 16.5. Замечания по теореме Гамильтона — Якоби. Эта изящная теорема, доказанная в §§ 16.2 и 16.4, имеет фундаментальное значение как для теории, так и для приложений. До сих пор, исследуя динамическую систему какого-либо частного вида, мы составляли уравнения движения, после чего задача сводилась к интегрированию этих уравнений. Совершенно иначе обстоит дело в методе Гамильтона — Якоби. Как только найден один полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, сразу могут быть написаны интегралы уравнений движения. Вопрос заключается лишь в том, насколько просто может быть найден полный интеграл. Однако, как будет показано, для большей части задач классической механики нахождение полного интеграла не вызывает каких-либо затруднений.
Прежде чем переходить к решению конкретных задач, укажем некоторые классы динамических систем, для которых решение упрощается. Это, прежде всего, случай, когда функции L и H не зависят явно от t,
H = H (qu q2, . . .,> qn; Pi, р2, • • ., Pn) = И (q; р), (16.5.1)
и существует интеграл энергии
H = h. (16.5.2) Чтобы получить полный интеграл, положим
S = —Ы + К, (16.5.3)
где h = (Xi — одна из произвольных постоянных, & К — функция от (qlf ?2> • • •, In), в которую входят h и п — 1 других произвольных постоянных Ct2, Oi3, . . ., ап. Уравнение Гамильтона в частных производных записывается теперь в форме
v(vw)=h> (16-5-4)
и требуется построить полный интеграл этого уравнения, содержащий п — 1 новых произвольных постоянных, ни одна из которых не является аддитивной. Интегралы уравнений движения запишутся в виде
t-t0 = ^, (16.5.5)
-р'=1_Ь г==2'3' (16-5-6)
Pr = -4?-. г = 1,2, (16.5.7)
где t0 написано вместо ?4.
Решение, как мы видим, представляется в исключительно простой форме. Уравнения (16.5.6) определяют траекторию в ^-пространстве, не определяя скорости перемещения по ней, а уравнение (16.5.5) дает связь между положением на траектории и временем. Решение задачи Лагранжа разбивается, таким образом, на два этапа. Уравнения (16.5.7) заканчивают решение задачи Гамильтона.
Постоянная h = Ct1 определяется значением (сохраняющейся) энергии системы, а постоянная t0 = ?i зависит исключительно от выбора начала отсчета врекени і.
Большинство систем, встречающихся в приложениях, консервативны, и поэтому теорема Гамильтона — Якоби чаще всего применяется в указанной выше форме. Практически обычно начинают не с дифференциального уравнения Гамильтона, а с модифицированного уравнения в частных производных (16.5.4).