Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 128

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 290 >> Следующая


dU _ дрг ддг дЦт дН ддг дН дрт

ду3 ~ dy3 dt ' Pr Oy3 dt dqT dy3 дрт dys ~~

поскольку qr, рт удовлетворяют равенствам (16.3.9). И так как

-гЧг = -Й-' (16.3.15)

ay3 dt dt ay3 y

TO

dU дЦг , дрт dqr OU3

dy3 ^ dt dy3 ' dt dy3 dt Введем теперь функцию op = op (у; t) такую, что

(16.3.16)

Q=U. (16.3.17)

Тогда

и, следовательно,

dUs _ dU д2гр. _ дЦ dt dys ду3 dt dt ду3

(16.3.18)

U3=AL+Ks! (16.3.19)

где K3 есть функция, зависящая только от у и не зависящая от t. Окончательно находим

Ptdqr-Hdt = At.dt-t- (AL+ K3) dys = dq+ Ksdys, (16.3.10)

что и требовалось доказать.

Доказательство второе (обратная теорема). Поскольку

Pr dqr - H dt = dip + K3 dys, (16.3.20)

§ 16.4]

ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВТОРОЕ)

289

имеем

Рг^Г-Н = Ъ (16-3.21)

Pr -fg- = -?- + *., 5 = 1,2,...,2/2. (16.3.22)

Учитывая, что

dt ays dys dt *

получаем

IT ^TJ- dys \Pr dt }-~^;- d4r dys~ dPr dys- (10-«5-^ Но так как

дЦг дЦт

dt ays dys dt '

то уравнение (16.3.23) можно переписать в виде

)=<>• (»6.3.24)

Всего мы имеем Ih таких уравнений, по одному для каждого 7. Определитель из коэффициентов отличен от нуля, и, следовательно,

If = Ib -It'-Ж <«А9)

Теорема об эквивалентности, таким образом, полностью доказана.

§ 16.4. Теорема Гамильтона — Якоби (доказательство второе). Теорему Гамильтона — Якоби можно вывести непосредственно из теоремы об эквивалентности. Пусть S = S [q; a; t) будет полным интегралом уравнения Гамильтона в частных производных

f- + Я(д;-|.;*)=0. (16:4.1)

Выразим q и р через а, ?, t с помощью формул

dS

Pr = ~dq7 r=l'2. •••• п> (16.4.2)

-Pr = -— r = l,2, п. (16.4.3)

В результате получим общее решение уравнений Гамильтона. Для доказательства представим форму pr dqr — H dt в переменных а, ?, t, тогда будем иметь

Pr dqr — Н dt = -Щ- dqr -f- -Ц- dt = dS — -^- dar = dip + ?r dar, (16.4.4)

где через \|) обозначена функция S, выраженная в переменных а, ? , t. Величины q и р являются независимыми функциями от (а; ?; t); действительно (см. § 15.8, п. 3),

^ рлг\ =1. (16.4.5)

o (аг; ?r) V '

Из равенства (16.4.4) в силу обратной теоремы об эквивалентности следует, что qr, Pr удовлетворяют уравнениям движения Гамильтона. Теорема, таким образом, доказана.

19 Л, А. Парс

290

ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ

[Гл. XVI

§ 16.5. Замечания по теореме Гамильтона — Якоби. Эта изящная теорема, доказанная в §§ 16.2 и 16.4, имеет фундаментальное значение как для теории, так и для приложений. До сих пор, исследуя динамическую систему какого-либо частного вида, мы составляли уравнения движения, после чего задача сводилась к интегрированию этих уравнений. Совершенно иначе обстоит дело в методе Гамильтона — Якоби. Как только найден один полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, сразу могут быть написаны интегралы уравнений движения. Вопрос заключается лишь в том, насколько просто может быть найден полный интеграл. Однако, как будет показано, для большей части задач классической механики нахождение полного интеграла не вызывает каких-либо затруднений.

Прежде чем переходить к решению конкретных задач, укажем некоторые классы динамических систем, для которых решение упрощается. Это, прежде всего, случай, когда функции L и H не зависят явно от t,

H = H (qu q2, . . .,> qn; Pi, р2, • • ., Pn) = И (q; р), (16.5.1)

и существует интеграл энергии

H = h. (16.5.2) Чтобы получить полный интеграл, положим

S = —Ы + К, (16.5.3)

где h = (Xi — одна из произвольных постоянных, & К — функция от (qlf ?2> • • •, In), в которую входят h и п — 1 других произвольных постоянных Ct2, Oi3, . . ., ап. Уравнение Гамильтона в частных производных записывается теперь в форме

v(vw)=h> (16-5-4)

и требуется построить полный интеграл этого уравнения, содержащий п — 1 новых произвольных постоянных, ни одна из которых не является аддитивной. Интегралы уравнений движения запишутся в виде

t-t0 = ^, (16.5.5)

-р'=1_Ь г==2'3' (16-5-6)

Pr = -4?-. г = 1,2, (16.5.7)

где t0 написано вместо ?4.

Решение, как мы видим, представляется в исключительно простой форме. Уравнения (16.5.6) определяют траекторию в ^-пространстве, не определяя скорости перемещения по ней, а уравнение (16.5.5) дает связь между положением на траектории и временем. Решение задачи Лагранжа разбивается, таким образом, на два этапа. Уравнения (16.5.7) заканчивают решение задачи Гамильтона.

Постоянная h = Ct1 определяется значением (сохраняющейся) энергии системы, а постоянная t0 = ?i зависит исключительно от выбора начала отсчета врекени і.

Большинство систем, встречающихся в приложениях, консервативны, и поэтому теорема Гамильтона — Якоби чаще всего применяется в указанной выше форме. Практически обычно начинают не с дифференциального уравнения Гамильтона, а с модифицированного уравнения в частных производных (16.5.4).
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed