Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
При этих данных координаты точек, лежащих в зоне странного аттрактора, находятся в пределах от 1,79 м/с (уровень нижней границы зоны) до 2 м/с (уровень верх-ней границы зоны); теми же числовыми пределами ограничены значения абсцисс названных точек. Точка С, определяющая неустойчивый предельный цикл, расположена относительно близко к зоне странного аттрактора, обе ее координаты равны 2,1 м/с. В качестве начального значения скорости Qo принято 1,6 м/с. В таблице приводятся результаты вычислений пятидесяти последовательных значепий скорости q+. Хотя вычисления выполнялись с точностью до десяти знаков после запятой, для эконо-
§ 16. СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ
241
мии места в таблицу внесены значения q+ после округления до трех знаков после запятой. Из-за этого значения при п = 2, 3, .. 7 выглядят совпадающими со зна-
п • + Q п п п п «и Tl 3 п
1 1,760 И 1,967 21 1,987 31 1,807 41 1,836
2 1,936 12 1,954 22 1,976 32 1,988 42 1,810
3 1,920 13 1,939 23 1,963 33 1,977 43 1,991
4 1,9021 14 1,923 24 1,950 34 1,965 44 1,980,
5 1,882 15 1,906 25 1,935 35 1,951 45 1,968
6 1,860 16 1,886 26 1,918 36 1,936 46 1,955,
7 1,836 17 1,865 27 1,900 37 1,920 47 1,940
8 1,809 18 1,842 28 1,880 38 1,902 48 1,924
9 1,990 19 1,816 29 1,858 39 1,882 49 1,906
10 1,979 20 1,997 30 1,833 40 1,860 50 1,887
чениями при п — 36, 37, ..41. В действительности этого совпадения нет. (Подробнее об этом см. в п. 4.) Углубленное изучение этого аттрактора показывает, что при f -> <» марши лестницы Кенигса — Ламерея плотно заполняют всю заштрихованную на рис. 16.1, г зону.
Фазовую диаграмму рассматриваемой системы можно представить себе, если взять за основу изображенную на рис. 13.4, а фазовую диаграмму автоколебательной системы и заменить здесь линию Ai (устойчивый предельный цикл) кольцевой зоной конечной толщины.
Прежде всего отметим, что начало координат на фазовой плоскости — неустойчивый фокус. Главная отличительная особенность фазовой диаграммы — упомянутая кольцевая зона, которая и является странным аттрактором. Наконец, существенным элементом фазовой диаграммы является неустойчивый предельный цикл — замкнутая линия, окружающая в некотором поколении зону странного аттрактора (см. кривую A2 на рис. 13.4, а) и служащая границей области протяжения к странному аттрактору. Фазовые траектории, начинающиеся внутри этой области, не только притягиваются к странному аттрактору, но, можно сказать, «втягиваются» в него. Оказавшись внутри зоны странного аттрактора, изображающая точка не выходит из нее и далее совершает здесь хаотическое движение. Если после достаточно большого возмущения начальная изображающая точка оказалась за 16 Я, Г. Пановко
242
ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
пределами названной области притяжения, то фазовая траектория будет раскручиваться, все больше удаляясь от границы области.
При малой толщине кольцевой зоны (н соответственно малых размерах шестиугольника на рис. 16.1,- г) свойства системы будут близки к свойствам «обычной» автоколебательной системы, которой соответствует рис. 13.4, а.
3. Примеры странных аттракторов в неавтономных системах. На рис. 16.2, а показан сжатый, потерявщий устойчивость упругий стержень, на который действует в поперечном направлении вынуждающая сила P sin wt. Если амплитуда этой силы мала, то стержень будет совершать малые колебания около показанного на рисунке изогнутого положения. В противоположность этому, если амплитуда силы весьма значительна, то установятся большие колебания — такие, что в течение одного цикла стержень будет проходить все три положения равновесия: 1) изображенное на рисунке сплошной линией; 2) положение, симметричное первому (при прогибе стержня вверх); 3) среднее положение, отмоченное на рисунке штриховой
---- ~~~
а Psinwt
Рис. 16.2
линией. Обнаружено, что в некотором промежутке значений Px < P < P2 колебания носят хаотический характер, а в фазовом пространстве системы существует странный аттрактор (при Р> P2 колебания вновь приобретают упорядоченный характер). Эти результаты не только были найдены путем вычислений, но получили подтверждение на специальной экспериментально!! установке (см. [33]).
Совершенно теми же свойствами обладает система, показанная на рис. 16.2, б. Упругая пружина в изображен-
§ 16. СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ
243
ном на рисунке недеформированном состоянии имеет длину I, большую h, так что система обладает тремя положениями равновесия. Система испытывает действие мгновенных импульсов S, прикладываемых к грузу с периодом Т. Дифференциальное уравнение движения груза вдоль горизонтальной направляющей имеет вид
тх + кх + с (а — х)
. (а — х)2 -|- h2
-1
^ Sb (t — пТ).
п=1
(16.1)
Здесь обозначено: m — масса груза, х — его координата, отсчитываемая от изображенного на рис. 16.2, б положения равновесия, к — коэффициент линейного трения меяг-ду грузом и направляющей, с — коэффициент жесткости пружины, a = ~!l2 — h2 — проекция размера I на горизонтальное направление.
Отметим, что при малых отклонениях груза от положения равновесия, когда х < а, уравнение допускает линеаризацию и принимает вид
