Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
mx + кх -|--~2— — ^S8(t — пТ).
1 п=1
Подробный анализ здижения после решения дифференциального уравнения (16.1) на ЭВМ приводит к следующим заключениям. При малых значениях S происходят малые колебания вблизи показанного на рисунке положения равновесия, затем в некотором диапазоне значений S колебания носят хаотический характер, а при еще больших значениях импульса вновь устанавливаются периодические колебания, но очень большой амплитуды.
Еще один пример системы, в фазовом пространстве которой возможен странный аттрактор, показан на рис. 16.2, в. Она представляет собой свободно вращающийся на оси массивный ротор, к фиксированной точке которого с заданным периодом T прикладываются горизонтальные мгновенные конечные импульсы S. Пусть непосредственно перед п-м ударом положение ударяемой точки определяется углом фп, а угловая скорость ротора равна юк. Вследствие приложения импульса угловая скорость приобретает мгновенное приращение (SRiI) sin ф„ (/-момент инерции ротора относительно оси вращения) и перэд 16*
244 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ равновесия
(/г+1)-м ударом состояние ротора будет определяться углом фп+і и угловой скоростью ю„+і:
Фп+і =Фп + юп+1 Т, шп+1 = an + {SR/I)sіпф„.
С помощью этих рекуррентных соотношений можно проследить развитие процесса во времени. Как установлено, в определенном (довольно узком) диапазоне значений SR/I значения м„ образуют хаотическую последовательность, причем хаотизации движения не могут помешать силы трения, хотя соответствующий диапазон значений SR/I окажется несколько иным.
4. Заключительные замечания. Среди различных способов выявления странных аттракторов в конкретных динамических системах одним из основных следует считать численное интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений. Именно так были получены результаты, приведенные в табл. на с. 240. Там было отмечено, что вычисления производились с точностью до десятого знака после запятой, но для большей компактности представленной таблицы в нее внесены значения скорости, округленные до третьего знака. При этом особо подчеркивалось, что совпадение некоторых табличных значений скорости (например, при п = 7 и п = 41)—лишь кажущиеся и поэтому последующие значения скорости (в том же примере начиная с п = 8 и п = 42) расходятся уже в третьем знаке. Тем самым обнаруживается некая неупорядоченность движения, которую можно трактовать как признак хаотичности и наличия странного аттрактора (разумеется, это признак недостаточно убедителен, хотя бы потому, что вычислениями охвачены лишь первые пятьдесят шагов процесса).
Допустим теперь, что в процессе вычислений какие-то два значения скорости при п = п\ и п = п2 точно совпали. Тогда движение на интервале между шагами п\ и п% представляет собой некий, возможно весьма длительный цикл, который затем будет повторяться. Такая повторяемость, казалось бы, свидетельствует об упорядоченности и отсутствии хаоса. Однако когда вычисления выполняются с конечным числом знаков, то раньше или позже совпадение обязательно произойдет. Так, например, при неизменном значении целой части результата и учете девяти знаков после запятой можно получить не более десяти различных результатов, следовательно, совпадение неизбежно произойдет не позже чем через миллиард
§ 16. СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ
245
шагов. Таким образом, при вычислениях на ЭВМ всякое движение рассматриваемого типа формально выглядит как упорядоченный процесс. Нужно предупредить читателя, что к этому заключению следует относиться с осторожностью. С практической точки зрения колебательное движение, цикличность которого обнаруживается лишь после десятков или сотен миллионов шагов, естественно трактовать как случайный процесс. С теоретической же точки зрения существование цикла вообще остается недоказанным из-за ограниченной точности вычислений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Среди многих книг, специально посвященных общим вопросам теории механических колебаний, в первую очередь следует отметить:
1. Бабаков И. М. Теория колебаний.— 2-е изд.— М.: Наука, 1965.
2. Б и д е р м а н В. JI. Теория механических колебаний.— М.: Высшая школа, 1980.
3. M и гулин В. В., Медведев В. И., My с те ль Е. Р.,
Парыгин В. Н. Основы теории колебаний.— М.: Наука,
1988.
4. С т р е л к о в С. П. Введепие в теорию колебаний.— 2-е изд. М.: Наука, 1964.
Этим вопросам посвящены также переводные книги:
5. Ден Гартог Дж. П. Механические колебания.— 2-е изд.— М.: Физматгиз, 1960.
6. T и м о ш е н к о С. П. Колебания в инженерном деле.— М.: Наука, 1967.
7. К и н Н. Тонг. Теория механических колебаний.— М.: Наука, 1963.
8. Ц з е Ф. С., Морзе И. E., Хинкл Р. Т. Механические колебания.— М.: Машиностроение, 1966.
Проблемам нелинейных колебаний специально посвящены книги:
9. Л н д р о н о в А. А., В и т т А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний.— 2-е изд.— М.: Физматгиз, 1959.
10. Б о г о л ю б о в Н. H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Физматгиз, 1963.
И. Булгаков Б. В. Колебания,—М.: Гостехнздат, 1954
