Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
чального возмущения изображающая точка вышла за пределы странного аттрактора, но остается в области его притяжения, то фазовая траектория вернется в эти пределы (тем более, если изображающая точка после начального возмущения не выведена за пределы странного аттрактора, то она и далее будет оставаться в этих пределах).
Дальнейшее изложение посвящено разбору конкретных примеров.
В п. 2 рассматривается простейший и весьма наглядный пример, когда странный аттрактор обнаруживается на фазовой плоскости; в некотором смысле — это исключительный случай, потому что, как правило, странные аттракторы возможны при условии, что фазовое пространство системы имеет размерность не менее грех.
В п. 3 приводятся примеры странных аттракторов в трехмерном фазовом пространстве (для неавтономных систем с одной степенью свободы).
238
ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
2. Хаотический осциллятор Неймарка. В § 13 (стр. 209) была рассмотрена предельно упрощенная модель часов — упругая система с вязким трением, автоколебательные свойства которой определяются действием мгновенных конечных импульсов, прикладываемых к системе в моменты ее прохождения через положение равновесия с положительной скоростью. Рассматриваемый здесь аттрактор Неймарка возможен применительно к упругой системе, обладающей противоположными свойствами — ее движение сопровождается действием непрерывной силы отрицательного вязкого трепия и конечных мгновенных импульсов, направленных против движения. Импульсы прикладываются в моменты, когда система подходит к положению q =• Oc достаточно большой положительной скоростью q~ Ss v (v—заданное значение скорости, знаки « + » и « —» її другие обозначения соответствуют сказанному в § 13).
Так как при q~ < v импульсы не возникают, то, после сколь угодно малого начального возмущения состояния равновесия, под действием отрицательного трения будут
происходить разрастающиеся колебания, причем Qn+i =
= ЧпЄ2лН/к*(здесь h> 0 соответствует дифференциальному уравнению q — 2hq + k2q =0 для системы с отрицательным трением). Разрастание колебаний будет происходить до тех пор, пока в конце некоторого п-то цикла колебаний
скорость qn достигнет значения v (или превзойдет это значение). Тогда на систему воздействует импульс S, Ii скорость мгновенно уменьшится до значения
Qn ~ Qn Sjd1
которое окажется начальным для последующего (/г+1)-го цикла. В конце (/г+1)-го цикла скорость станет равной
При достаточно большом значении импульса S этот результат окажется меньшим, чем V1 т. е. вновь возникнет описанный выше процесс разрастания колебаний в отсутствие демпфирующих импульсов, который будет происходить до тех пор, пока Cf < V. После того как будет выполнено условие q~ v, произойдет новое скачкообразное уменьшение скорости и т. д. В целом можно ожидать, что установится процесс, внешне напоминающий
§ і 6. СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ
239
биения, когда этапы возрастания амплитуд чередуются с этапами их убывания. Как будет показано на численном примере, эти представления верпы, но обнаруживаемые в системе «биеппя» не обладают свойством периодичности.
Отметим, что в рассматриваемой системе возможен стационарный режим движения (предельный
цикл), которому соответствует равенство <?n+l = Qn = Qcr Подставляя сюда найденные выше выражения, найдем
‘ + S
д ст
а(е2ЯЛ/й*_ ^ •
Однако этот предельный цикл неустойчив, в чем можно убедиться, в частности, с помощью построения Кенигса — Ламерея. То же построение позволит обнаружить и странный аттрактор в рассматриваемой системе. Для этой цели будем исходить из точечного преобразования
-Y+ —
l+e2nh/h* — При д ^v,
?+е2лЛ/,!* при g~<v,
которое показано на рис. 16.1, а. Здесь предположено, что импульс S достаточно большой и точка С (соответствующая неустойчивому стационарному режиму) расположена выше точки А, т. е. дст> V. (Отметим, что при малых значениях S точка С может оказаться ниже точки А, по в этом случае странный аттрактор не существует.) На рис. 16.1, б буквой D отмечено произвольно принятое начальное значение скорости д и показан первый (восходящий) марш лестницы Кенигса — Ламерея DE, На рис. 16.1, в показан следующий (нисходящий) марш лестницы Кенигса — Ламерея EF, и в общих чертах становится ясным дальнейшее развитие процесса колебаний с последовательным чередованием маршей вверх — вниз, однако подчеркнем, что такое чередование не означает установление периодического процесса и что значения д не могут быть меньше ординаты точки В и больше ординаты точки А. Соответственно этому зона странного аттрактора определяется шестиугольником, заштрихованным на рис. 16.1, г, а область его притяжения располагается в промежутке значений 0 < q < qcт. Если движение
240
ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
системы начинается вне отмеченной зоны притяжения, когда начальная скорость превосходит значение qCT, то ступени лестницы Кенигса — Ламерея будут неограниченно уходить вправо вверх.
Иллюстрируем сказанное прямыми вычислениями для случая, когда к/к% = 0,01517, v = 2 м/с, S/а — 0,21 м/с.