Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
будет двигаться по окружности. Найти это соотношение и радиус окружности.
2.21. Заряд е движется в поле магнитного монополя Н = g -
г*.
Найти интеграл движения, следующий из закона изменения момента импульса
заряда.
2.22. Заряд движется в электромагнитном поле. Записать в тензорных
обозначениях уравнение движения зарцда и закон изменения его кинетической
энергии.
2.23. Найти собственную гравитационную энергию однородного шара массы М и
радиуса а.
2.24. Найти потенциальную энергию взаимодействия однородного шара массы
ти радиуса а и находящейся на расстоянии г ог его центра точки массы т2.
2.25. Учитывая несферичность Земли, найти энергию взаимодействия
однородной Земли и точки массы т, находящейся на расстоянии г^>а от
центра Земли (а - экваториальный радиус Земли).
2.26. Оценить, исходя из теоремы о вириале сил, температуру внутри
Солнца.
2.27. Обобщить теорему о вириале сил для заряженной частицы, движущейся в
однородном магнитном поле.
2.28. Частица движется в потенциальной одномерной прямоугольной "яме" с
бесконечно высокими "стенками". Ширина ями
16
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл. 2
а, полная энергия частицы Е. Вычислить среднюю силу, с которой частица
действует на стенку.
2.29. Из классической электродинамики следует, что уравнение движения,
учитывающее потери энергии заряда на излучение, должно иметь вид [7]
mv = еЕ + - [vH] 4- v.
с Зса
Это уравнение может быть использовано в качестве уравнения движения
только в том случае, если сила торможения за счет излучения мала по
сравнению с силой, действующей на заряд со стороны внешнего поля,
Предполагая, что заряд движется в поле Е=Е0 cos сoi] Н=[пЕ], найти
условие применимости уравнения (п - постоянный орт).
2.30. Заряд е движется в поле волны E = E0cosoit; H = [nE] (п -
постоянный орт). Учитывая торможение заряда излучением, найти среднюю по
времени мощность сил, действующих на заряд, а также среднюю по времени от
производной импульса заряда.
§ 2. Движение в центрально-симметричном поле
2.31. Найти зависимость от координат потенциала центрального поля, в
котором материальная точка может двигаться по гиперболической спирали г-
const/tp.
2.32. Точке массы т, находящейся на расстоянии г от центра поля и=кг3/3,
сообщена скорость v0, составляющая угол +я/2 с направлением на центр
поля. При каком значении v0 материальная точка будет двигаться по
окружности?
2.33. Полная энергия материальной точки, движущейся в поле
1п -
U = - а------
г2
равна нулю. Найти траекторию точки.
2.34. Материальная точка движется в центральном поле U=-а/г6. Полная
энергия равна нулю. Найти траекторию точки и построить график траектории.
2.35. Найти траекторию материальной точки и смещение ее
/ / ^ " Р
перигелия в поле и =------ +
2.36. Исследовать движение материальной точки в центральном поле
ги ч 1 ~~U° ПРИ г<а:
~ ( 0 при г > а.
Движение под действием силы тяготения
17
2.37. Точка массы т движется по круговой орбите радиуса г3 под действием
центральной силы. Сформулировать критерий устойчивости кругового движения
точки.
2.38. Точка движется в центрально-симметричном поле. Показать, что законы
сохранения момента импульса и энергии приводят к соотношению,
аналогичному закону преломления света для сред, коэффициент преломления
которых есть функция величины радиуса-вектора.
§ 3. Движение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату
расстояния до центра силы
2.39. Тело движется в поле тяжести Земли в области высот z^.R; R - радиус
Земли. Найти приближенные выражения для интегралов движения, учитывающие
кривизну Земли и справедливые при zC/?.
2.40. Тело брошено с поверхности _3емли под углом а к горизонту с
начальной скоростью и0<|/ gR. Найти приближенное уравнение траектории, из
которого в случае "плоской" Земли (R-*-оо) следует известное уравнение
параболы.
2.41. Показать, что для материальной точки, движущейся в центрально-
симметричном поле U--а/г, сохраняется вектор
С = [vM] --у~. Определить расположение вектора С относитель-
но орбиты точки и связь его величины с эксцентриситетом орбиты.
2.42. Тело брошено с начальной скоростью t>0 < V2gR под углом р к
горизонту (рис. 2.42). Найти дальность полета s (s - отсчитывается по
дуге большого круга).
2.43. Тело брошено с поверхности Земли с начальной скоростью v0 < VgR~
При каком значении угла р между скоростью и касательной к Земле дальность
полета максимальна?
2.44. С какой минимальной скоростью v0 и под каким углом к горизонту надо
бросить тело, чтобы оно упало на расстоянии So, отсчитываемом по дуге
большого крута?
2.45. Тело брошено с поверхности Земли под углом р_к горизонту с
начальной скоростью г/0< V gR- Найти'время полета тела.
18_________________Законы изменения импульса, момента и
энергии__________ [Гл. 2
2.46. Известны параметр р и эксцентриситет е орбиты тела, движущегося в
поле тяжести Земли. Найти его скорость как функцию расстояния г от центра
Земли.
2.47. В поле тяготения Земли движется тело. Найти угол между его
