Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
отсчета, а также плоскости Оху и О'х'у' совпадают).
4.3. В системе S закон движения точки: x=acos<at\ у=г=0. Найти уравнение
траектории в системе отсчета S', вращающейся с угловой скоростью ы
относительно S (начала обеих систем отсчета, а также плоскости Оху и
О'х'у' совпадают).
4.4. Найти связь между декартовыми координатами точки в системе S и
системе S', повернутой относительно 5 на углы Эйлера Ф, 0, ф.
4.5. Самолет садится на корабль, движущийся по океану со скоростью Vi в
восточном направлении. Скорость ветра v2 направлена на север, а самолет
снижается по отношению к кораблю вертикально со скоростью v3. Определить
величину скорости самолета по отношению к движущемуся воздуху.
4.6. Окружность радиуса а вращается с угловой скоростью со вокруг оси,
проходящей через одну из ее точек и расположенную перпендикулярно ее
плоскости. По окружности движется точка со скоростью и относительно
окружности. Найти величину скорости точки в лабораторной системе отсчета.
4.7. Используя представление о совокупностях ортов цилиндрической и
сферической систем координат как о подвижных системах отсчета, найти
скорость и ускорение точки в этих координатах.
§ 2. Уравнения движения и законы сохранения относительно неинерциальных
систем отсчета
4.8. Точка подвеса математического маятника движется с постоянным
ускорением а (лежащим в плоскости колебаний маят<
§ 2] Уравнения движения относительно неинерциальных систем
27
ника) в горизонтальном направлении. Найти закон движения маятника.
4.9. Материальная точка, подвешенная на нити длины I, вращается вокруг
вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со, а точка подвеса
маятника движется вверх по вертикали с постоянным ускорением. Определить
ускорение точки подвеса, если известно, что маятник, отклоненный от
вертикали на угол ф, остается в том же положении.
4.10. Равнобедренный треугольник высоты h вращается с постоянной угловой
скоростью ш в своей плоскости вокруг вершины (рис. 4.10). Вдоль гладкого
основания треугольника может двигаться шарик массы т, скрепленный с двумя
одинаковыми пружинами
жесткости х. Эти пружины наниза- у
ны на основание треугольника и за- /
креплены в его углах. Общая длина пружин в ненапряженном состоянии
совпадает с длиной основания.
Найти закон движения шарика в инерциальной системе отсчета.
4.31. Шарик движется в поле тяжести Земли по прямой, образующей угол а с
вертикалью и вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг
вертикальной оси (проходящей через прямую). Найти величину скорости
шарика как функцию положения.
4.12. Шарик массы т нанизан на гладкую плоскую кривую, расположенную в
вертикальной плоскости и равномерно вращающуюся с угловой скоростью со
вокруг вертикальной оси (рис. 4.12). Найти уравнение этой кривой, если
шарик находится в равновесии в произвольной точке кривой.
Рис. 4.10
Рис 4.12
Рис. 4.13
28
Движение относительно неинерциальных систем
{Гл. 4
4 13. Внутри гладкой прямой трубки, вращающейся вокруг горизонтальной оси
(и перпендикулярной этой оси), движется шарик, прикрепленный к оси
вращения с помощью пружины (рис. 4.13). Найти закон движения шарика
относительно инерциальной системы отсчета.
4.14. Горизонтальная плоскость вращается вокруг вертикальной оси с
постоянной угловой скоростью со. Найти закон движения точки в поле
тяжести Земли в системе отсчета, связанной с плоскостью. Написать
интегралы движения.
4 15. Окружность радиуса R вращается вокруг своего вертикального диаметра
с постоянной угловой скоростью ю. Из верхней точки окружности по ее
гладкой хорде, составляющей угол <р с осью вращения, движется
материальная точка массы т (ее начальная скорость равна нулю). Найти
время движения точки.
4.16. Оценить величину сил инерции при движении тела вблизи поверхности
Земли в малой области пространства.
4.17. Методом последовательных приближений найти решение уравнения
движения тела относительно Земли вблизи поверхности Земли (в качестве
нулевого приближения взять решение в отсутствие сил инерции).
4.18. Маятник Фуко находится на географической широте X. Найти закон
движения маятника в декартовых координатах.
4.19. Найти закон движения маятника Фуко в сферических координатах.
4 20. Найти в квадратурах закон движения точки в поле Земли относительно
системы отсчета, жестко связанной с Землей (в сферических координатах).
4.21. Оценить влияние Луны на ускорение свободного падения в различных
точках земной поверхности.
ГЛАВА 5
Уравнения Лагранжа
§ 1. Уравнения Лагранжа с реакциями связей и законы сохранения энергии и
момента импульса при наличии связей
5.1. Материальная точка движется в однородном поле тяжести по гладкой
неподвижной плоскости, образующей угол а с горизонтом. Найти закон
движения точки и реакцию плоскости.
5.2. Точка движется в однородном поле тяжести (рис. 5.2) по гладкой
неподвижной параболе, расположенной в вертикальной плоскости (ось
параболы горизонтальна). Известно начальное положение точки, а ее
