Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
учебнику [1] И. И. Ольховского "Курс теоретической механики для физиков"
(издание II, 1974 г., часть 1).
Авторы стремились создать пособие, которое должно помочь студентам
физических специальностей глубоко овладеть современными методами
исследования движений механических систем на основе уравнений Ньютона,
Лагранжа, Гамильтона, Гамильтона-Якоби, а также законов изменения и
сохранения импульса, кинетического момента и энергии.
В первых четырех главах решения динамических задач основаны на применении
уравнений движения Ньютона. Остальные пять глав посвящены уравнениям
Лагранжа, Гамильтона, Гамильтона - Якоби. Помимо традиционных задач по
теоретической механике в книге предложены и другие задачи, связанные с
современными физическими проблемами, в частности задачи, в которых
исследуются движение заряженных частиц в электромагнитных полях,
поглощение электромагнитных волн осцилляторами (мазерный эффект),
рассеяние частиц, колебания молекул, нелинейные колебания. В пособии
рассмотрены системы с медленно меняющимися параметрами, а также системы,
движение которых можно представить в виде суперпозиции медленно
меняющегося и быстро осциллирующего движений.
В предлагаемых решениях задач авторы широко использовали теорию
обыкновенных дифференциальных уравнений, аппарат векторного и тензорного
анализа, специальные функции и также современные математические методы,
применяемые и в других разделах теоретической физики, как например метод
Крылова - Боголюбова в теории нелинейных колебаний и методы усреднений.
^ Обратим внимание на методические особенности предлагаемой книги. В
начале каждого параграфа, как правило, излагаются
наиболее простые задачи, а затем - все более трудные задачи, близкие по
содержанию к небольшим научным исследованиям (некоторые из этих задач
могут быть использованы в качестве курсовых работ). С целью научить
студентов самостоятельно формулировать физические задачи на языке
математики авторы сочли полезным предлагать условия ряда задач в
достаточно общей форме. Так, в условиях задач иногда не приводятся
очевидные данные. Например, если в условии есть указание на наличие
вертикали или горизонтали, то не оговаривается, что движение материальной
точки происходит в однородном поле тяжести с известной напряженностью.
В заключение авторы приносят благодарность А. А. Соколову, В. Г. Багрову,
А. С. Галиуллину с сотрудниками, Н. В. Кудрявцевой за многие ценные
советы, а Р. А. Бунатян за полезные замечания и Н. М. Садыкову за участие
в чтении корректуры. Авторы также благодарны всем аспирантам и студентам
физического факультета МГУ, которые оказали помощь при проверке рукописи.
И. И. Ольховский, Ю. Г. Павленко, JI. С, Кузьменков
ГЛАВА 1
Кинематика и уравнения движения материальной точки
§ 1. Кинематика материальной точки
2
1.1. Точка движется по эллипсу
= 1 с ускоре-
нием, параллельным оси у. Найти ускорение как функцию у, если
1.2. Точка движется по эллипсу с полуосями а и b с постоянной по величине
скоростью % Определить ускорение и скорость точки как функции координат.
1.3. Точка движется в плоскости с постоянной по величине скоростью v0 и
постоянной угловой скоростью со. Определить v(t).
угловая скорость радиуса-вектора, проведенного из центра эллипса к точке,
постоянна и равна <о. Определить скорость точки, если в начальный момент
времени я(0) =а.
1.5. Точка движется в плоскости с постоянной по величине скоростью vQ и
постоянной секторной скоростью сто. Найти v(f), если р(0) ==2о0/ц0.
1.6. Точка движется по окружно---------------------------------
сти радиуса R с постоянной сектор- уУ
ной скоростью по относительно точки / s'г \
О', лежащей в плоскости окружности / \
на расстоянии а<$ от центра окруж- ( Уц> \ \
ности (рис. 1.6). Найти величину ско | У--!т---------1 ^
роста v точки как функцию расстоя 1 0 I X
ния р от точки О' до движущейся \ /
точки. \ /
1.7. Точка движется по окружно- х. ^У
сти радиуса R с постоянной сектор- ^---
ной скоростью По относительно точки
А, лежащей на окружности. Найти Рис 16
зависимость от времени угла <р между
радиусом-вектором точки, проведенным из А, и прямой, соединяющей точку А
и центр окружности (ф(0)=0).
1.8. Точка движется по траектории р= aeh<f с постоянной секторной
скоростью 0о. Найти скорость v(/) точки, если в начальный Момент времени
tp(0)=0.
г (0) = (0, Ь), v(O) = (0o, 0)-
1.4. Точка движется по эллипсу
так, что
8
Кинематика и уравнения движения точки
[Гл. 1
1.9. Точка движется по плоской траектории с постоянной секторной
скоростью, причем величина линейной скорости точки обратно
пропорциональна ее расстоянию р от начала координат. Найти уравнение
траектории, закон движения г(^) и ускорение точки как функцию р, если
r(0)=r0; v(0)=v0.
1.10. Точка движется по плоской траектории так, что произведение ее
расстояний до неподвижных точек Fi и F2 есть величина, постоянная и
равная а2 - квадрату половины расстояния между Fi и F2. Проекция
