Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
секторной скорости точки на направление, перпендикулярное плоскости
траектории, сохраняется. Найти уравнение траектории точки и ее ускорение
как функцию расстояния от середины отрезка FiF2.
1.11. Точка движется в плоскости так, что ее секторная скорость az=Ap2/2,
а угол между ускорением и радиусом-вектором точки постоянен и равен 45°.
Найти закон движения и уравнение траектории точки, если р(0)=0; ф(0)=0;
р(0)=ро-
1.12. Точка движется в плоскости с постоянной по величине скоростью Vo,
при этом угол между радиусом-вектором точки и ее
скоростью равен соt. Найти уравнение траектории точки, если
в начальный момент времени г(0)=0.
1.13. По неподвижной окружности радиуса а катится без проскальзывания
лежащая с ней в одной плоскости другая окружность того же радиуса. На
подвижной окружности закреплена материальная точка, совпадающая в
начальный момент времени с точкой А неподвижной окружности. Найти
ускорение материальной точки как функцию ее расстояния до точки А, если
подвижная окружность вращается вокруг неподвижной с постоянной угловой
скоростью о.
1.14. Окружность радиуса а катится без проскальзывания по неподвижной
окружности радиуса R>a с ее внутренней стороны. Найти траекторию
материальной точки, закрепленной на подвижной окружности. При каком
условии этой траекторией будет служить отрезок прямой линии?
1.15. Точка движется по сфере, причем в любой момент времени скорость
точки образует постоянный угол а с меридианом. Н айти уравнение
траектории точки.
1.16. Точка движется по окружности радиуса R, причем q>=(ot (ф - угол
между радиусом-вектором точки, проведенным из некоторой точки А
окружности, и прямой, соединяющей точку А и центр окружности). Найти
тангенциальную и нормальную составляющие скорости и ускорения точки.
1.17. Точка движется по параболе y-kx2 так, что ее ускорение параллельно
оси у и равно а. Определить компоненты w%, wn ускорения точки как функции
времени,
1.18. Точка движется в плоскости. Ее тангенциальное и нор-
Уравнения движения точки
9
мальное ускорения соответственно равны постоянным а и Ь. Найти уравнение
траектории в полярных координатах.
1.19. В данной плоскости движутся две точки: точка 1 движется по прямой с
постоянной скоростью оь а точка 2 - с постоянной по модулю скоростью z>2,
направленной все время на точку 1. Найти траекторию точки 2 и "координату
встречи" / и 2.
1.20. Точка S движется прямолинейно, а скорость точки К направлена все
время на точку S (S и К движутся в одной плоскости). Какую форму должна
иметь траектория точки К, чтобы расстояние между К я S было постоянным?
Найти ускорение точки К, если известно, что оно ортогонально ее скорости.
Каков закон движения S?
Л Ф
1.21. Точка движется по кардиоиде р = 2а cos с постоян-
ной по величине скоростью. Найти скорость точки и ее ускорение как
функцию р.
1.22. Точка описывает кардиоиду p = 2acos2-^- таким образом, что ее
радиус-вектор вращается с постоянной угловой скоростью (c). Найти скорость
точки и ее ускорение как функцию ср.
1.23. Окружность радиуса а вращается вокруг оси, проходящей через
некоторую точку О этой окружности перпендикулярно ее плоскости (угловая
скорость вращения окружности постоянна и равна (c)). По окружности движется
точка с постоянной скоростью v относительно окружности. Найти уравнение
траектории точки в полярных координатах с началом в точке О.
1.24. Точка движется по спирали р = аеф так, что радиальная составляющая
ее ускорения равна нулю. Показать, что абсолютные величины скорости и
ускорения точки пропорциональны р (<p(0)=o>).
1.25. Точка движется по плоской кривой и в момент времени to проходит со
скоростью v0 через точку, в которой кривизна траектории равна х. Найти
тангенциальную составляющую ускорения движущейся точки и кривизну ее
траектории как функции вели-
d2v
чины скорости, если -- = av, где о - константа.
dt2
§ 2. Уравнения движения материальной точки
1.26. Проинтегрировать уравнение движения х = ksln -, если
а
*(0) = ла; х(0)=2 ]fka (ft,a>0).
1.27. Найти скорость, которую приобретет частица в результате действия
мгновенной силы Fx=ab(t-tQ), если v(0)=0 (здесь 6(0 - функция Дирака). •
10
Кинематика и -уравнения движения точки
[Гл. 1
1.28. Заряд е<0 в начальный момент времени покоился на расстоянии h от
бесконечной проводящей плоскости. Определить время, за которое заряд
достигнет плоскости.
1.29. Орудие установлено на холме высоты h (рис. 1.29). Начальная
скорость снаряда v0 направлена под углом а к горизонту.
Определить, при каком значении угла си дальность полета снаряда
максимальна (сопротивлением воздуха пренебречь).
1.30. Шарик массы т падает на горизонтальную плоскость с высоты h.
Начальная скорость шарика равна нулю. Движение происхо-l дит в среде с
квадратичным по
скорости сопротивлением. Найти Рис- 129 высоту подъема шарика после уп-
ругого удара о плоскость.
1.31. Тело движется в однородном поле тяжести Земли. Сила сопротивления
среды пропорциональна квадрату скорости. В начальный момент времени тело
