Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
обобщенного импульса и энергии
5.23. Две точки с массами mi и т2 соединены гладкой нера-стяжимой нитью,
перекинутой через блок пренебрежимой массы. Найти функцию Лагранжа и
закон движения грузов.
5.24. На одном конце легкой нерастяжимой нити, перекинутой через гладкий
блок пренебрежимой массы, укреплен груз массы Ш|. По другому концу нити
перемещается обезьяна массы т2 по закону ?(/) относительно нити. Найти
функцию Лагранжа системы и закон движения обезьяны относительно
поверхности Земли.
5 25. Точка массы т может двигаться по гладкой кривой у=а sinkx. Ось х
горизонтальна, ось у образует угол а с вертикалью. Найти функцию Лагранжа
и интеграл энергии точки.
5.26. Точка массы т, которая может передвигаться по гладкой
горизонтальной прямой, соединена пружиной с неподвижной точкой,
находящейся на расстоянии h от прямой. Найти функцию Лагранжа,
предполагая, что пружина подчинена закону Гука, а жесткость пружины % и
ее длина 10 в ненапряженном состоянии известны.
5 27. Две точки с массами mi и т2, соединенные стержнем длины а
пренебрежимо малой массы, перемещаются по гладким сторонам неподвижного
прямого угла, расположенного в вертикальной плоскости (стороны угла
образуют угол я/4 с горизонтом). Найти лагранжиан системы (рис. 5.27).
5.28. Упругая нить длины 2а в ненапряженном состоянии перекинута через
два горизонтальных параллельных стержня, располо-
§ 2]__________Уравнения Лаграюка в независимых координатах
33
женных на одном уровне на расстоянии а друг от друга. Конды нити
прикреплены к шарику массы т, совершающему колебания по вертикали (рис.
5.28). Найти лагранжиан шарика (нить подчинена закону Гука).
5.29. Шарик массы т прикреплен к нерастяжимой нити, конец которой, в свою
очередь, прикреплен к верхней точке неподвижного блока радиуса а (рис.
5.29). Предполагая, что при движении шарика в плоскости, перпендикулярной
оси блока, ннть остается натянутой, найти функцию Лагранжа и уравнение
Лагранжа.
Рис 528
5 30 Точка массы т движется по гладкой циклоиде х - а{и - sitiu); у = -
а(1-cos а)
(ось у направлена по вертикали вверх). Найти функцию Лагранжа, первый
интеграл и закон движения шарика
5.31. Точка подвеса математического маятника колеблется в вертикальном
направлении по закону s(t). Получить лагранжиан и уравнение движения.
5.32. Длина математического маятника, колеблющегося в однородном поле
тяжести, изменяется по закону l(t). Найти функцию Лагранжа и уравнение
движения маятника.
5.33. Восстановить вид функции Лагранжа по известному закону одномерного
движения материальной точки массы т
**= ^TJr (*o + *V)2-
2 Зак 4
34
Уравления Лагранжа
[Гл. 5
5.34. Шарики массы тх и т2 движутся в вертикальной плоскости ху так, что
первый шарик остается на горизонтальной оси х, а второй - на вертикальной
оси у. Шарики связаны стержнем длины I пренебрежимо малой массы. Найти
лагранжиан и закон движения системы.
5.35. Два шарика, соединенные пружиной, подчиняющейся закону Гука,
движутся по гладкой горизонтальной прямой. Найти лагранжиан системы и
интегралы движения.
5.36. Найти лагранжиан точки, движущейся по гладкой плоскости, образующей
угол а с горизонтом. Найти первые интегралы движения точки.
5.37. По наклонной плоской поверхности бруска массы тх скользит тело
массы т2 (коэффициент трения между телом и поверхностью бруска равен к).
Сам
у. , брусок может двигаться вдоль
гладкой горизонтальной поверхности (рис. 5.37). Найти ускорение
A# бруска.
' \ 5.38. Точка подвеса математи-
| ческого маятника массы т2 прикре-
"1 плена к телу массы тх, находяще-
1 л"Ч. МУСЯ на гладкой горизонтальной
J- l_? >у ___________^ прямой. Найти функцию Лагранжа
* системы, а также интегралы дви-
Рис. 5 37 жения.
5.39. Шарик массы тх подвешен за нерастяжимую нить длины /ь К этому
шарику прикреплена другая нерастяжимая нить длины /2 с шариком массы т2
на конце. Найти лагранжиан системы для случая ее движения в вертикальной
плоскости (в этом случае система называется двойным математическим
маятником).
5.40. Математический маятник массы /п2 длины / подвешен к телу массы тх,
прикрепленному к верхнему концу пружины с вертикальной осью. Написать
лагранжиан системы, интеграл и уравнения движения.
5.41. Точка движется по гладкой поверхности конуса с углом 2 а при
вершине; ось конуса расположена вертикально. Найти функцию Лагранжа,
первые интегралы и закон движения точки.
5.42. Точка движется по поверхности конуса (см. предыдущую задачу). В
начальный момент времени, когда точка находилась на расстоянии г0 от
вершины конуса, ей сообщили скорость в горизонтальном направлении. Найти
границы движения точки.
5.43. В цилиндрических и сферических координатах найти функцию Лагранжа и
первые интегралы для сферического маятника, т. е. для точки, движущейся
по гладкой сфере радиуса а в однородном поле тяжести.
Обобщенно-погеициальные силы
35
5.44. Предполагая, что начальные условия в предыдущей задаче заданы в
виде 0(0) =0о; <р(0)=0; 0(0) =0; <р(0)= <ро, найти границы движения
