Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение движения центра масс и уравнение относительного движения.
2.65. Две заряженные частицы движутся в однородном магнитном поле Н,
причем ei/mi = e2ltn2. Написать уравнение движения центра масс и
уравнение относительного движения.
2.66. Спутник Земли, движущийся по круговой орбите радиуса г0, испытывает
неупругое столкновение с метеором, движущимся по гиперболе с параметром 4
г0. Скорости спутника и метеора в момент соударения антипараллельны, а
масса метеора в п раз больше массы спутника. Найти параметр и
эксцентриситет орбиты образовавшегося тела. При каком значении п это тело
будет двигаться по гиперболической траектории?
2.67. Проинтегрировать уравнения движения системы N материальных точек,
если сила взаимодействия г-той и /-той точек
F,? = - kmjtij (г, - г,).
2.68. Считая известным время работы реактивного двигателя, найти высоту
вертикального подъема ракеты в однородном поле тяжести (масса ракеты
изменяется по эспоненциальному закону m = m0exp(-kt), а скорость
истечения отработанных газов постоянна).
2.69. Считая известной высоту, на которой прекращает работу реактивный
двигатель, найти высоту вертикального подъема ракеты в неоднородном поле
тяготения Земли (скорость и истечения газов постоянна).
2.70. Дождевая капля падает в однородном гравитационном поле и равномерно
испаряется. Найти работу силы тяжести за время полного испарения капли.
2.71. Капля воды движется в однородном поле тяжести в среде, в которой за
счет конденсации происходит увеличение массы капли, пропорциональное ее
поверхности. Найти скорость капли
Сохранение импульса, момента и энергии системы
21
в зависимости от времени, если в начальный момент времени капля была
неподвижна, а ее масса равнялась т0.
2.72. Найдите наибольшую высоту подъема реактивного снаряда, запущенного
в однородном поле тяжести с начальной скоростью v0 под углом а к
горизонту. Масса снаряда изменяется со временем экспоненциально, скорость
и истечения газов постоянна, а время работы двигателя больше, чем время
полета снаряда до наивысшей точки его траектории.
2.73. Гибкая нить длины I перекинута через ребро гладкой равнобедренной
неподвижной призмы с углом а при основании Вначале нить покоилась, затем
от слабого толчка начала соскальзывать. Найти скорость нити в момент
соскальзывания ее конца с ребра призмы (длина ребра призмы больше I).
2.74. Шарик массы т} находится на прямой, проходящей через центр тонкого
однородного диска перпендикулярно его плоскости Масса диска т2, радиус R.
В начальный момент шарик и диск покоятся. Найти относительную скорость в
момент соударения (гравитационная постоянная у известна).
2.75. Достаточно длинная доска массы т2 лежит на горизонтальной гладкой
плоскости. На доске находится тело массы rtiu Коэффициент трения между
телом и доской равен К. В начальный момент телу сообщают скорость с>о
(относительно плоскости). Найти конечную скорость тела и доски и
расстояние, пройденное телом tti\ относительно доски.
2.76. Трем одинаковым частицам, расположенным в вершинах равностороннего
треугольника со стороной а, сообщили одинаковые скорости v0, направленные
от
одной частицы к другой по часо-
вой стрелке. Определить наибольшее и наименьшее удаление частиц от их
центра масс.
С
о
1
Рис 2 77
Рис 2 78
2.77. Точка массы т,\ движется по горизонтальной гладкой плоскости (рис.
2.77). Эта точка соединена со второй точкой массы т2 нерастяжимой нитью,
продетой через отверстие в плоскости.
22
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл. 2
Вторая точка может перемещаться в однородном поле тяжести только по
вертикали. Найти область, в которой расположена траектория первой точки,
если в начальный момент времени она находилась на расстоянии р0 от
отверстия и имела скорость ро<оо" на' правленную перпедикулярно радиусу-
вектору точки, проведенному от отверстия.
2.78. Шарик свободно падает с высоты в центр закрепленного на пружине
массивного однородного горизонтального диска (рис. 2.78). Пренебрегая
воздействием силы тяжести и упругой силы пружины за время соударения,
найти законы движения диска и шарика для случаев упругого и полностью
неупругого ударов (после первого соударения). При каком условии упругие
соударения будут происходить в одной и той же точке пространства с
максимальной частотой?
ГЛАВА 3
Задача двух тел и рассеяние частиц
§ 1. Движение двух взаимодействующих материальных точек
3.1. Потенциальная энергия взаимодействия двух точек г2) = -^-(|га- ri| -
а)2. Каковы скорости точек в системе
их центра масс в случае движения точек по круговым орбитам (расстояние
между точками равно О?
3.2. Найти среднее за период значение кинетической энергии двух точек
относительно системы их центра масс, если точки движутся по эллиптическим
орбитам.
3.3. Частица массы mi налетает со скоростью V\ на неподвижное ядро массы
т2. Происходит неупругое соударение. Какова минимальная скорость Oimin,
необходимая для возбуждения ядра на энергию Де.
