Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся теперь к общей задаче распространения температуры в бесконечном стержне. Пусть нам задано какое-то первоначальное распределение температуры /(х). Будем рассматривать эту начальную температуру как результат одновременного воздействия множества тепловых импульсов: разбив мысленно весь стержень точками х{(— оо < і < оо) на элементарные участки Axlt мы можем считать, что на каждом таком малом участке задан тепловой импульс, поднявший температуру на этом участке до /(х,) (см. рис. 86).
Тогда, согласно формуле (10), закон распределения температуры, вызванной тепловым импульсом на участке Axl, таков:
, (хг*)*
(*¦ O = 2а уг^ f(x,) Є *“*' AX1
332
Часть III
(здесь роль X0 играет X1, роль U0 — начальная температура / (Xl)f роль е — длина элементарного участка Дх,).
С другой стороны, воздействие всей начальной температуры f(x), как известно, задается интегралом:
+" (т—JCl-
и
Рис. 86
Заменяя этот интеграл интегральной суммой, соответствующей разбиению всей прямой на участки Lxl, получим:
+оо (хг~*)*
и{К = S 2ау*г'Пх‘)е Л*<•
I- —00
т. е.
•I OO
U (X, O= U1 (х, О-
/------OO
Итак, общее воздействие, обусловленное всей начальной температурой, может быть получено суммированием тех элементарных воздействий, которые произошли от каждого теплового импульса в отдельности. Точнее говоря, температура в какой-либо точке X в некоторый момент времени t может быть получена суммировав НИЄМ температур, которые получились бы В ЭТОЙ точке В MOMeuf времени t в результате воздействия каждого начального импульса в отдельности.
Глава 4, § I
333
ГЛАВА 4
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
ФУНКЦИЯ ГРИНА
§ /. Общие свойства гармонических функций.
Формулы Грина. Метод сеток
Целью настоящей главы является изучение общих свойств гармонических функций; это изучение приведет нас к доказательству теоремы о единственности решения задачи Дирихле (конец § 1); затем мы познакомимся с одним общим методом решения задачи Дирихле (метод функций Грина) и, используя этод метод, выведем формулу для решения задачи Дирихле в случае сферы; при этом нам удастся записать гармоническую функцию в форме интеграла, зависящего от параметров, аналогичного интегралу Пуассона.
Предварительно выведем некоторые формулы, связывающие тройные и поверхностные интегралы.
Пусть р и q — две скалярные функции, заданные и непрерывные всюду в области V и на ее границе. Будем считать, что эти функции имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно; будем считать, кроме того, что поверхность S области V является гладкой или кусочно-гладкой.
Рассмотрим поверхностный интеграл JJp ¦— dS, где п—еди-
ничный вектор внешней нормали к поверхности S. Сведем этот интеграл к тройному. Так как производная функции в каком-либо направлении равна проекции градиента на это направление, то
— grad q -п, и поэтому
дп
j*j p^LdS — jjр • grad <7-я-dS.
tS 's
Примеиив к этому интегралу формулу Гаусса-Остроградского, получим:
JJp-^LdS= j*J р grade-AidS =Jj Jdiv (pgrad^dV. (I)
334
Часть IH
Под знаком интеграла стоит дивергенция произведения скалярной функции р на векторную grad q. Применим формулу для вычисле-ния дивергенции произведения (см. часть I, § 13):
div (р grad q) = р • div grad q -f- (grad p • grad q) =
= P' q + (gradp-gradq).
Подставляя это в равенство (1), получим окончательно:
• /л\ qdv + JJJ (grad р • grad q) dV. (2) s V v
Эта формула называется первой формулой Грина.
Поменяв ролями р и q% вычислим теперь Jj q ^dS:
s
Вычитая почленно из равенства (2) равенство (3), получим вторую формулу Грина:
Применим теперь эту формулу к тому случаю, когда одна из функций (например, q) является гармонической всюду внутри области V, а другая (р) равна ~, где г — расстояние от переменной точки M области V до некоторой фиксированной точки M0,
лежащей внутри этой области. Непосредственно применить вторую формулу Грина к этим функциям мы не можем, так как функция
1 т/
р --- -у терпит разрыв внутри V
(она стремится к бесконечности при M M0). Поэтому мы применим эту формулу, взяв в ней вместо области V область Vt, которая получится, если исключить из V шар радиуса е с центром Рис. ?7 в точке M0 (рис. 87). Ho тогда и
RalattamtMl
знание Сез«овии«
Глава 4. § / 335
граница области изменится; граница области Vt составится из двух поверхностей: поверхности S, которая ограничивала
область V, и сферической поверхности S4. В связи с этим вместо интеграла по поверхности S нам придется написать сумму двух интегралов: по S и по St.
/j\ q — q /ji\-jj dV.
Тройной интеграл, стоящий в правой части равенства, равен нулю; это вытекает из того, что функции q к -j- являются гармоническими всюду в области Vt, и, следовательно, лапласианы этих функций тождественно равны нулю *. Поэтому последнее равенство может быть переписано следующим образом:
7t-4r)dS = °- <5>
Это равенство справедливо при любом е > 0. Перейдем в этом равенстве к пределу (при е 0). Для этого оценим интегралы по поверхности St и посмотрим, к чему они стремятся при е -> 0:
