Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
-f- CO р OO 1
и(х, /) = 4" J SVx,“''cosX(T-Ar)dX dt =
— оо LO
4 оо
— OO
Здесь применена формула
« р,
J е~*х' cos P xdx = -J- е~ **“” (где а > 0),
о
выведенная в § 2, главы 2 (стр. 234—237).
Итак,
^ CO
“ (*• о = 2e ViT' j H')e~'*s‘rdx. (9)
— OO
Заметим, что этот интеграл, вообще говоря, довольно труден для вычисления: даже в тех случаях, когда f(x) — кусочно-по-стоянная функция, он не берется в элементарных функциях. Однако мы будем считать задачу решенной, если нам удастся выразить этот интеграл через функцию Erf.
Пример. Найти закон распределения температуры внутри бесконечного стержня, если в начальный момент температура на участке— /<*</ была 1030°, а в остальных точках стержня 30°.
Задача сводится к решению уравнения
ди й SkU а*-
dt дх*
с начальным условием
1030 при — I < х < /;
и(х, 0)
30 при I х I > /.
Функция, задающая начальное распределение температуры, не МВЛЯеТСЯ абсОЛЮТНО интегрируемой На (— оо; -f-oo). Для того чтобы исправить положение, сделаем замену переменной и = и—30
328
Часть IU
(где и — новая неизвестная функция); тогда и удовлетворяет уравнению _
ди о д*и
____ = /7*---
dt а Oxt
и начальному условию
(1000 при — Z *¦,-JC
и(х, 0) =
7 0 при I AT I > /.
Здесь уже функция /(*), задающая начальное условие, абсолютно интегрируема. Поэтому для нахождения и (х, t) можно применить формулу (9):
і V <*-«>•
«(*. O = J /Wc rf •
— CO
1 /* _ ( T--Q1
I 1000-с dx.
2а У Ttt J
-I
Для того чтобы выразить и(х, t) через функцию Erf (через одни только элементарные функции ее выразить нельзя), заменим переменную интегрирования т переменной z, связанной с т соотношением: ~-т ~~-L- = z\ тогда х x-j-z-2аVt , —= dz.
2a Vt » « г • 2fl^/
Следовательно,
1-х
2 a Y Г 1000 Г Л
J с -ZaVtdz-
-1-х
2« V Г
1-х
2а V t
¦ 500 Vtr J c!,* 500|Erf -27РГ 'Erfw|'
-/-Jf
2« VT
Для того, чтобы найти и(х, t), достаточно вспомнить, что
и = и -}- 30:
и (ж, 0 = 500 Г Erf - '~1- -Erf 1 + 30.
7 L 2а 2а J
На рис. 83 изображен график распределения температуры и (х, /) внутри стержня в начальный момент времени (t0 = 0), а
Глава 3, § 2
329
также графики распределения температуры в некоторые последующие моменты времени (Z1 < /2 < ta).
Импульсная функция. Пусть начальное распределение температуры в стержне задано следующим образом: температура равна пулю всюду вне весьма малого участка [л:0, .V0 -f є], а на этом
участке температура равна м0. Иными словами, можно считать, что стержню, температура которого всюду была равна нулю, передано на участке [х0, лг0 -f- є] количество тепла ф = есГм0*, нызвавшее мгновенное повышение температуры на этом участке па величину и0.
Функцию, задающую начальное распределение температуры и этом примере, можно выразить через импульсную функцию. Импульсная функция Sjte (х), введенная Дираком, определяется следующим образом: она равна -f оо в точке X0 и нулю всюду вне этой точки; интеграл от этой функции по любому отрезку, содержащему внутри себя точку х0, равен единице.
Эта «функция» не является функцией в точном математическом смысле слова (потому что интеграл от функции, которая исюду, кроме одной точки, равна нулю, не может равняться единице). Однако импульсную функцию Дирака можно приближенно заменить настоящей функцией, свойства которой очень близки к функции Дирака, а именно функцией, равной нулю вне очень
малого участка [х0, X0 + є] и равной на этом участке (график
этой функции см. на рис. 84). Очевидно, что интеграл от такой функции (как и интеграл от функции Дирака) равен единице на любом участке, включающем отрезок [*0, X0 -J- є].
•Где с—коэффициент теплоемкости, Г — линейная плотность массы стержня.
330
Часть III
В дальнейшем под импульсной функцией (х) мы будем подразумевать как саму функцию Дирака, так и ее приближенное значение:
і
о
на [х0, х0 + е], вне [x0t х0 -f є].
В этих обозначениях функция, дающая первоначальное распределение температуры в рассматриваемом примере, может быть выражена через импульсную функцию следующим образом:
и (х, t) = (*)•
где Q — количество тепла, сообщенного в начальный момент малому участку стержня [х0, X0 + є]. Начальная температура U0 этого
Q
участка равна
Найдем закон, по которому будет изменяться температура стержня с течением времени. Согласно формуле (9),
I V о _
— OO
Так как подинтегральная функция равна нулю всюду вне отрезка [х0; X0 + є], а на нем 8 (т) = —, то
і Y О
“(*' о = I^jTiT J TTT е 4“‘'dT-
*0
Г лава 3, § 2
331
Наконец, в силу малости участка [х0, X0 -J- е] можно считать, что
(T-Jf)*
непрерывная функция е АиЧ всюду на этом отрезке равна значению этой функции при т = х0. Поэтому
, п _<?•=?>!
и (*, /) ^------T^r- р — е 4аЧ • е,
' ' 2а у Itt с1 е
ИЛИ
I _ <*»-*>*
и (Х' ^ ~2aVW~ и°в АаЧ Є‘ (10^
Па'рис. 85 представлены графики распределения температуры для некоторых моментов времени t.
