Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
и (р, 0, 9) = R (р) T (0) Ф (9).
(5>
T (в), Ф(9):
R (р) ограничена на участке 0 < р < /;
T (0) ограничена на участке 0 < 0 < п;
Ф(9) ограничена и периодична с периодом 2п:
Ф (9 -f- 2лг) •— Ф (9).
(8)
Я"ТФ + 4- Я'ТФ+ -a- RT Ф + -V RT" Ф+ -гт-аїг RTQ"=0.
P р р* р* Sifl* О
I ^ ф #
~ P1 sin* Є
Приравняв каждую часть этого равенства константе (обозначим —X), получим:
ф" + Хф = 0;
(9)
ЯТ+ j- R'T + RT' + Ji-RT
310
Часть III
Уравнение (9) вместе с граничными условиями (8) позволяет найти все собственные числа и собственные функции этой краевой задачи: X = ?*, где k = 0, 1,2,...; при этом числу X =¦ 0 отвечает единственное (с точностью до постоянного множителя) собственное решение Ф0(ф)=1; каждому же числу Х = Л*(Л>1) отвечает по два линейно независимых частных решения с периодом 2л: _ __
Ф* (9) — cos &р; (9) = sin k<p.
Подставим теперь X = = 0, 1, 2...) в равенство (10) и раз-
делим в нем переменные:
**T + -|-*T+ + -^'--р^ЯТ-О;
к*Т
P•/?" + 2р/?' Т” Т ctg 6 “ sln5^
R ~ —Т
Приравняв каждый член этого отношения постоянной величине {обозначим ее (х), получим:
Г*+Г Ctge+ ((X--^ff-Jr-O; (II)
р*«" + 2pR' - (х* = 0. (12)
Уравнение (11) вместе с дополнительным требованием ограниченности функции T(B) (см. условие (7)) позволит найти {л и T(B). Сделаем в уравнении (11) замену переменной в = arc cos х. Очевидно, что когда 0 пробегает значения от 0 до тс. новая переменная х пробегает значения от 1 до —1. Поэтому требование ограниченности функции T(B) на участке 0 < 0 < it равносильно требованию ограниченности функции Tfarccosx) на участке
— 1 < х < 1.
Для того чтобы преобразовать уравнение (11) к новой независимой переменной, выразим Т'в и T^e через Tx и Tn:
Т'в = Т\ • X^ = Т\ • (— sin 0) (так как х = cos0 и х^ = —sin 0); ^ee= mi;.= [ - г;¦ Sin Є] і - - г; • cos е - Sin е • [rj; =
=—г; cos в—sin в • г; • т; =—г; cos в+r;sin* в.
Подставляя найденные выражения для T^e и Tg в уравнение (11) и учитывая, что на участке 0 < 0 < »с имеет место:
Глава 2, § 15
ЗП
cos0 = х, sin 0 = + YI — та, ctg0 — — х получим:
Это — уравнение Лежандра порядка k. Известно, что оно допускает нетривиальные граничные решения только при [x = m(m+1), где т — целые числа, такие, что т > k. При этом каждому собственному числу {х = т (т + 1) отвечает собственное решение Pm (х), где Pm — присоединенная функция Лежандра (или, в частном случае, при 6 = 0, полином Лежандра). Возвращаясь теперь к старой переменной 0 (учитывая, что х = cos 0), получим всевозможные нетривиальные решения уравнения (11):
(мы обозначили частное решение уравнения (11), соответствующее данному значению параметра k и данному значению числа [i = m (m + 1), через Г*.т; следует помнить, что параметр k пробегает всевозможные целые значения от 0 до со, а параметр т — все целые значения, такие, что т > k).
Вернемся теперь к последнему, оставшемуся нерешенным, уравнению (12). Подставим сюда (x = m(m+ !)•*
Это — уравнение Эйлера. Решая его обычным путем (с помощью замены независимой переменной р = е* оно приводится к уравнению с постоянными коэффициентами), получим два линейно независимых частных решения:
R = Pm и R — р~т~1.
Второе решение неограниченно при р -+¦ 0 и поэтому мы его не принимаем во внимание; итак, каждому значению т отвечает только одно (с точностью до постоянного множителя) ограниченное решение уравнения (12):
YY-=Iir
или
(1-х*)г;- 2тг; +((I-^1)T = O.
Tк,т (0) = Pm (COS 0)
PtR" + 2Р R' — m{m + I) R = 0.
312
Часть III
Подставляя теперь найденные функции Ф (9), T (0) и R (р) в равенство (5), мы получим всевозможные решения уравнения (И). удовлетворяющие однородным условиям (3) и (4) и представимые в виде произведения функций одного переменного;
UkA р. 0. 9) = Pm Pm (COS 0) COS Л 9; ик,т (р, 0, 9) = Pm Pj1 (cos 0) sin k 9.
Здесь учтено, что функция Ф (9) может равняться как cos k 9 (в частности, при k = О, единице), так и sin k 9. В соответствии с этим нами получены два набора решений для м(р,_0, 9): решения, содержащие cos k 9 (они обозначены ик,т\ здесь k = 0,1,2, ...; т > k)t и решения, содержащие sin k9(они обозначены Uk.m\ здесь k = 1, 2, 3, т > k).
Для того чтобы найти решение, удовлетворяющее не только условиям (3) и (4), но и заданному граничному условию (2), надо взять сумму всевозможных решений вида (13), предварительно умножив их на произвольные коэффициенты, и затем так подобрать эти коэффициенты, чтобы сумма удовлетворяла граничному условию (2). Обозначив коэффициенты при ик,т через Clk,т, а при Uk.m — Через Ьц.т, ПОЛуЧИМГ
OO OO
U (р, 0, 9) = Y Y ak,m Pm Pm (COS 0) COS k <р +
Л=O т=к
OO OO
+ Y Y bk,mpmPm (COS©) sin k 9. (14)
*=»1
Чтобы найти неизвестные коэффициенты, подставим в этот ряд р = /; при этом левая часть равенства превратится в / (©, 9) (в силу граничного условия):
OO OO
/(0,9)=1] Y OktmImPkm(COse) COS ?9 +
A=O т=к
(13)
OO OO
+ її bktm Im Pm (COS 0) sin k <p.
ft*=l m=k
