Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
зр?
Часть IIf
Рассмотрим теперь другую задачу: найти форму упругой пленки, натянутой на контур /, если известно, что контур / проектируется на плоскость Oxy в кривую X и что для всех точек (х, у) кривой X аппликаты соответствующих точек контура / находятся по формуле u — f(x, у) (рис. 81, 2).
Обе эти задачи приводят к одному и тому же уравнению
1? + $=° 0)
при одном и том же граничном условии
и(х, у) І на X =/(*, У). (2)
Только физический смысл величины и в этих задачах различен: в первой задаче это — температура, во второй — отклонение точки от плоскости Оху.
Решение второй задачи можно найти непосредственно: для этого достаточно сделать проволочный каркас, имеющий форму кривой /, и на него натянуть пленку S. Зная форму пленки St мы можем найти температуру в любой точке (*, у, г) внутри цилиндра; для этого надо измерить аппликату той точки пленки, которая проектируется на плоскость Oxy в точку (*, у). Эта аппликата численно равна искомой температуре точки (х, у, г), лежащей внутри цилиндра (при любом г). Таким образом, пленка, натянутая на каркас, является моделью для решения задачи о стационарном плоскопараллельном распределении температуры внутри бесконечного цилиндра.
Совпадение решений обеих задач вытекает из того, что уравнение (1) при граничном условии (2) имеет единственное решение.
Глава 2, § 14
зоа
§ 14. Решение уравнения гидродинамики для плоскопараллельного движения жидкости внутри цилиндра. Плоская задана Неймана
Пусть внутри бесконечного кругового цилиндра радиуса а, ось которого направлена по оси Oz, происходит безвихревое движение несжимаемой жидкости. В этом случае, как известно, скорость V является градиентом некоторой скалярной функции и (называемой потенциалом), которая удовлетворяет уравнению:
У^\и = 0.
Для того, чтобы эта функция могла быть однозначно (с точностью до постоянного слагаемого) определена, на поверхности S цилиндра должно быть дано граничное условие
ди
дп
“Л
на 5
где f — функция, заданная во всех точках поверхности S (это-г-
проекция скорости V на внешнюю нормаль к поверхности цилиндра).
Будем рассматривать только случай плоскопараллельного движения жидкости, т. е. считать, что / не зависит от аппликаты г. Тогда от г не будут зависеть ни скорость с, ни ее потенциал Ut и уравнение Лапласа запишется в цилиндрических кр-ординатах следующим образом:
J_дЦ,д*и 1 д%и _0
а граничное условие на искомую функцию и (г, у) запишется так:
д“ =/(9). (2)
дп
г—а
гДе /(?)— заданная кусочно-непрерывная, ограниченная функция от ф(—п<ф<!г). Известно, что эта задача может иметь решение только тогда, когда функция /(9) удовлетворяет следующему дополнительному условию (см. главу 1, § 4):
I» Jfl-.,
BTj
304
Часть ПІ
где интеграл берется по контуру I того круга, по которому цилиндр пересекает плоскость Оху. Так как элемент дуги круга dl легко выражается через dy:
dl - а • dtp,
то последнее условие может быть записано следующим образом:
я
j /(9) a d<p — 0, или
—я
It
j/(9)d<p = 0. (3)
—it
Далее, если учесть, что искомое решение и (г, 9) должно быть 1) ограниченной функцией; 2) периодической функцией от 9:
и (г, 9 + 2я) = W (г, 9),
то ясно, что тем же путем, как и в предыдущем параграфе, можно получить решение уравнения (1) в виде суммы следующего ряда:
OO
и (г, 9) = A0 + X (Ak гк cos k<p + BttTk Si п ?9). (4)
Остается подобрать коэффициенты A0, Ak, Bk так, чтобы удов-
летворить граничному условию (2). Для этого найдем нормальную
производную Легко видеть, что в каждой точке на поверхня
ности цилиндра внешняя нормаль направлена по координатной r-линии в сторону возрастания г. Поэтому производная по направлению п во всех точках этой поверхности равна частной производной . Учитывая это, продифференцируем по г обе части равенства (4):
OO
ІЇ. = *i = 2 (Д, к г*-1 cos kf -1- Bi k г*-» sin kf),
дп &г і
и подставим г = а:
CO
/ (9) = 2 {А//гал~1 cos ky + Bkkak~l sin 69).
Глава 2, § 14
305
Мы получили разложение функции /(9) в ряд Фурье по общей тригонометрической системе на участке [—it; it). В этом разложении отсутствует свободный член; это следовало ожидать, так как свободный член ряда Фурье вычисляется по фор-
лу условия (3). Остальные коэффициенты легко найти по формулам Фурье:
откуда получаем (заменяя обозначение переменной интегрирования на х):
Подставляя коэффициенты Ak и Bk(k> 1) в равенство (4), получим решение в форме суммы ряда. Постоянное слагаемое A0 нами не определено; это объясняется самим существом задачи: потенциал и (г, 9) может быть найден только с точностью до постоянного слагаемого.
Ряд (4) дает нам решение плоской задачи Неймана для крупі (так как плоскопараллельное течение внутри кругового цилиндра вполне определится, если знать закон этого течения в каком-либо горизонтальном сечении цилиндра, т. е. в круге радиуса а).
Решение задачи Неймана для круга также может быть записано с помощью интеграла, аналогичного интегралу Пуассона. Для этого надо подставить Ak и Bk (из формул (5)) в ряд (4):
