Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
последний интеграл равен нулю в си-
j *
Ak k a k~l =s — j / (9) cos k(pd(p,
—Tt
306 Часть! IГ
и проделать здесь те же преобразования, что и при решении задачи Дирихле в § 9. В результате этих преобразований получим
и(г, 9) = л„+ -jj- |/(т) rjj-i- COS * (? — <р) J dt.
<6>
Обозначим сумму ряда, стоящего в квадратных скобках, через S, отношение ~—через q, разность т — <р—через 0. Тогда
OO
S = 2 "^"9* cos^- (7)
A-I
Для того чтобы вычислить сумму этого ряда, предварительно продифференцируем его почленно по 0 (считая число q постоянным, 0<<7<1). Это дифференцирование допустимо, так как ряд, получившийся после почленного дифференцирования, равномерно сходится на любом участке изменения 0 (все его члены по модулю не превосходят членов числового сходящегося
|у).
A-I J
ряда
Итак,
? k
A-I A-I
Чтобы вычислить сумму последнего ряда, достаточно заметить, что qk • smkB = Im(^erte) и что поэтому ^ qk sin ?0=I m .
Мнимая часть ряда была уже найдена; она равнг
r—2qcote+q* ^СМ’ СН0СКУ на СТР* 296)’ ПОЭТОМУ
_ <jsin0
— I — 2qcosb + q* *
Беря неопределенные интегралы от обеих частей этого равенства получим
S-----J +С=—Г |п(‘ - 29COSе + 4) + С.
где С — величина, не зависящая от 0.
Глава 2, § 14
307
Возвращаясь к старым обозначениям fq = 0 = т — 9^
найдем S:
S = - -І- In [ 1 - 2 cos (X - 9) + ?] + С,
ИЛИ
S =------^-In [a9 — 2ra cos (т — 9) + r%] -f Ina + С.
Подставив найденное значение S вместо выражения, стоящего в квадратных скобках в равенстве (6), найдем функцию и (г, 9), выраженную в виде интеграла:
IC
и(г, 9) = Л0—j / (т)In [а* — 2racos(т — 9) -}- r%) dx +
—IC
+ V IЖ (С + Ina)*.
—К
IC
Последнее слагаемое — J /(т) (С + Inc)dx равно нулю (так как, по
—*
Ж
условию, jf(x)dx = 0); поэтому окончательно
—*
IC
и (г, 9) = A0 — J / (х) In Ifl* — 2ra cos (т — 9) + r%] dx. (8)
—IC
Формула (8) дает нам решение плосков^адачи Неймана в форме интеграла, зависящего от параметров г и 9. Этот интеграл является аналогом интеграла Пуассона.
Взяв градиент найденного скалярного поля и (г, 9), мы получим вектор скорости V частиц жидкости в каждой точке. Используем формулу для grad и в цилиндрических координатах:
. ди - , 1 ди - . ди -
gradu = -^*, + — ^ег + — ег.
Производные и найдутся дифференцированием интеграла
(8) по параметру г или 9 (легко проверить, что это дифференцирование в данном случае допустимо; см. § 2):
308
Часть Hf
ди _ _а_ р г/ V — 2г I 2аcos (х — у) . dr 2ге J ' Oi — 2ra cos (х— 9) 4 /"* Т*
—It
- ±- F f M 2га sin (х-у) .
dtp 2тс J а* — 2 racos (х — у) гя
—It
Так как, кроме того, ~ = 0, то окончательно получаем:
— 2г 2a cos (х — у)
- , а Г г / \ — Zr - zocos CX — у і , - .
O = Uradu = ^r j/W &_^icosft1-/рг,'*¦*,+
—я
I I а с f / V 2га sin (х — у) , -
г ' 2я J ^ ^ а8 — 2га cos (х — у) -(- ra Т Vf
—1C
или, подводя (для сокращения записи) под один знак интеграла:
а Г*г/Ч er[—r +acos(x—у)] 4 в9 • asln(x —у)
^ я J аа — 2rucos (x—у) + г* Т
—К
§ 15. Решение уравнения теплопроводности для шара методом Фурье (стационарный случай). Пространственная задача Дирихле для шара
Рассмотрим однородный материальный шар V радиуса / (будем считать, что его центр находится в начале координат). Считая, что внутри шара температура установилась, найдем закон распределения этой тем пергу ры; при этом должно быть задано распределение температуры на поверхности сферы S (предполагается, что в каждой точке поверхности сферы поддерживается определенная температура, не меняющаяся с течением времени).
Будем искать температуру и в каждой точке как функцию от сферических координат этой точки: и(р, 0, 9). Тогда уранне-
ние Лапласа /л \ и = 0. которому подчиняется стационарное распределение температуры, запишется следующим образом:
дги . 2 ди ctgft ди ._____1 даи . I dau ^ ,. ч
др* р др ' р8 dW ' ра д&а ра sin8 в дуа ’
Граничное условие здесь должно быть таким:
w(p, 0, 9)ре=/= /(0, 9), (2)
Глави 2. § 15
309
где /(0, 9) — заданная ограниченная, кусочно-непрерывная функция, определенная всюду на поверхности сферы.
Кроме этого условия, естественно наложить на и(р, 0, 9} следующие ограничения:
1) и(р, ©, 9) ограничена всюду на V; (3)
2) м(р, 0, ф) периодична относительно 9 с периодом 2п:
и(р, 0, 9 + 2я) = «(р, 0, 9). (4).
Условия (3) и (4) являются однородными (в отличие от неоднород-
ного граничного условия(2)).
Будем искать, как обычно, искомую функцию и(р, 0, 9) в виде произведения трех функций одного переменного:
Найдем все решения уравнения (1), представимые в таком виде и удовлетворяющие однородным условиям (3) и (4). При этом очевидно, что условия (3) и (4) на функцию ы(р, 0, 9) равносильны совокупности следующих условий на функции /?(р),
Подставляя и (р, 0, 9) в уравнение (1), получим следующее тождество:
Разделим в этом тождестве переменные, перенеся в одну часть равенства члены, зависящие только от 9, а в другую — от P и 0:
