Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, сформулируем нашу задачу.
Требуется найти функцию двух переменных и(х, /), опреде-лсміную для — оо < X < -f оо, / >0, удовлетворяющую уравнению
ди , дяи
Ж-tfSZT (1)
* Круговой частотой периодической функции называется отношение чис* щ 2 я к периоду функции (это отношение показывает, сколько раз период укладывается в числе 2п). Таким образом, например, круговая частота функ-Hiiii cos X jc и sin X х равна X.
324
Часть III
и начальному условию
и(х, 0) = f{x), (2)
где /(х) — заданная абсолютно интегрируемая на (— оо; - f °°) функция.
Будем решать эту задачу методом Фурье. Представим и(х, t) в виде произведения двух функций одного переменного:
и(х, t) = X(x)-T(t). (3)
Подставляя и(х, t) в уравнение и разделяя переменные, получим:
Г (0 __ Х"(*)
T (/) ' X(JC)- '
Приравняем каждое из полученных выражений константе —ц; тогда мы придем к следующим уравнениям для определения X (*)
и T (/):
Г (I) Ч- (i O1T (І) - 0; (4)
X" (*) + Iа X (х) - 0. (5)
Из уравнения (4) находим:
Г (O=Ccf-
Отсюда сразу видно, что ц не может быть отрицательным: если р. < 0, TO е~**** -+ OO при t -*¦ OO, а это не имеет физического
смысла (температура в точке не может неограниченно возрастать
в результате свободного теплообмена).
Таким образом, ц > 0. Обозначим для удобства дальнейших выкладок fi = X* (где X> 0). Тогда с точностью до постоянного множителя
Г(0 = в“хч,,/ •
Кроме того, из уравнения (5) находим:
X (x) = Coslx или sin Xлг.
Итак, для каждого X > 0 получаем следующие нетривиальные решения уравнения (1):
их (х, 0 — с~х*аЧ coslx-«х (лг, 0 = е~*'аЧ sin їх. (6)
Глава 3, § 2
325
Так как уравнение (1) является однородным, то любая линейная комбинация этих функций также является решением; обозначая коэффициент при ых через А (X), а при нх — через В (X), получим решение, соответствующее числу X, в виде:
мх (х, t) = A (X) Srkta4 cos Xx j- В (X) sin X х.
Никаких граничных условий на функции Х(х) и T (t) не наложено. Поэтому на Х;>0 также не накладывается никаких ограничений: X может быть любым неотрицательным числом.
Сумма функций их(х, t) при различных X и при различных числах Л (X) и В (к) также является решением уравнения. Если бы различных функций //x(jt t) было конечное число, то здесь шла бы речь о конечной сумме; если бы их было счетное множество (т. е. их можно было бы занумеровать натуральными числами), — речь шла бы о сумме бесконечного ряда; однако и данном случае X пробегает всевозможные значения от О до-f и поэтому здесь процесс суммирования сведется к интегрированию по X в границах от О до +оо;
CO
и (xt i) - J [A (I)C-'-' cos X I В (X)tTx'"*' sin X х\ dl. (7) о
Конечно, приведенных рассуждений еще не достаточно для того, чтобы быть уверенным, что функция (7) является решением уравнения. Для того чтобы убедиться в этом, надо продифференцировать (7) по х и по t и результаты дифференцирования подставить в уравнение:
OO
IIt (х, О = j [A (X) (— W) eMt cos X Jt + о
+ В(X) (— W)с*'аЧsinlx]dX;
OO
и"хх(х, t) = J [Л(Х)(— XVx*"1' cos X Jt -f B(I) (—Х»)е“х*",/ sin X Jt] dl.
о
ідесь мы применили дифференцирование по параметру (в первом случае — по параметру t, во втором случае — по параметру Jt); из общих теорем о дифференцировании интеграла по параметру нытекает допустимость этого дифференцирования (при условии, ¦но Л (X) и B(I) абсолютно интегрируемы в границах О <Х < -H оо). Подставляя найденные Uf и Utt в уравнение (1), получим, что
и, = CflUxx.
326
Часть JH
Значит, интеграл (7) является решением данного уравнения при любых абсолютно интегрируемых функциях A (X) и B(I). Подберем эти функции так, чтобы интеграл (7) удовлетворял заданному начальному условию. Для этого подставим в этот интеграл t = 0 и приравняем его / (х):
CO
f (*) = J [A (X) cosXx -J- В (X) sin X х] d X.
о
Согласно интегральной формуле Фурье, заключаем, что последнее равенство будет выполняться, если в качестве Л (X) и Б (X) взять коэффициенты Фурье:
4" оо
Л (*•) = f / (т) cos У t d t;
(в)
BW = -TjzWsinxidt-
— оо
Теперь можно считать нашу задачу уже решенной: вычислив коэффициенты Л (X) и B(X) по формулам (8) и подставив их в (7), получим искомое решение уравнения. В силу теоремы единственности решения (мы ее не доказываем) заключаем, что других решений, кроме найденного, наша задача не имеет.
Преобразуем найденное решение, подставив выражения для Л (X) и B(X) в равенство (7):
OO Ч~ 00
и (AT, /) = |* е~х*аЧ |cos X X • ~ J / (х) cos X X d X -f
0 — во
+ со
-f sinXх*-L J /(т) sin XxdxJdX.
— OO
Внося cos X х и SinXx под знак внутренних интегралов и производя очевидные преобразования, получим:
оо + оо
и (х, t) = ~ J е~у'аЧ j* / (т) cos X (х — х) d X d X.
О — оо
Изменим в этом двойном интеграле порядок интегрирования:
4- оо со
и(х, *) =-L J J/(т)cosX(т — x)dXdx.
Глава 3, § 2
327
Функцию f (х) можно вынести за знак внутреннего интеграла (по X); после этого внутренний интеграл можно будет вычислить (он не содержит функции /(т)):
