Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Итак,
IJ^S (т)*cos** =
* Здесь M — верхняя граница функции |/ (т)| при — п < х < *.
„ / r\k
Ряд Zj (~т— I сходится, как геометрическая прогрессия со знаменателем -j- меньшим, чем 1 (напомним, что г—фиксированное число, стро* го меньшее, чем /)
ШЇаЦашіЩі
Глава 2, § 12 295
= S J^(t) cosk^ —9)^-fc=»l —*
Учитывая это равенство, перепишем по-иному формулу (И):
и(г, У) = 2^" J/W* + jf X ~^-f-)*cos*(x —9) ldx,
—те —к L Ar==I J
или
л Г 00 1
U{Г, 9) = ~ Jzw 4"+ S (-r)ftcos/?^~^ rft< (13)
—к L ft=l J
Сумму, стоящую в квадратных скобках, легко вычислить.
I*
Обозначив эту сумму через Sf отношение -----------------через q и раз-
ность т — 9 через 6, получим
OO
S = + J] (/ftCos /гО (где О < q < 1).
Л=»1
По известной формуле Эйлера имеет место равенство: etkb — = cos kb + і sin /еб; следовательно, cos А0 является действительной частью функции ет (это записывают так:cos kb — Re [eiM 1). Поэтому
CO р CO -j
S = 4- + 2 <?'cosAe=ReU- + 2 «*«“* •
L 4*1 J
CO
Для того чтобы вычислить St надо найти сумму ряда J] ет
(это — геометрическая прогрессия со знаменателем дел , по мо-
* Заметим, что, доказав это равенство, мы тем самым доказали сходимость ряда (9) при любых 9 и г, где О < г < /: правая часть этого равенства отличается от суммы ряда (9) только постоянным слагаемым A0, а левая часть равна интегралу от суммы равномерно сходящегося ряда (12), т. е. интегралу от непрерывной функции (и, следовательно, конечному числу).
дулю меньшим, чем 1), а затем взять действительную часть этой суммы:
S=R* [4- + 2^'и] = 4г+4т^Н=
___1 I рс Г де1ь(\~де-л) ] _1_ р де1Ь — д*_________
- 2 + КЄ[(і_^Є)(і_^-,в)] - 2 +КЄ,_9(^+е-/в)+9.
— * IPp <7 cos м + iq s>n Я — да 1 I д cos в — q*
~ 2 1 — 2</ COS в -1-(7* " 2 I— 2qcosV+qa ““
J — q* *
“ 2(1— 2</cose + </8) *
Возвращаясь к старым обозначениям 0=х—9 j и
подставляя полученное выражение для S в формулу (13), получим, после простых преобразований:
IC
“<Г- ?> = -j* J/<Т> 1--2ги‘оГ(,Г'-<г) + г> <14>
— п
Этот интеграл называется интегралом Пуассона. Формула (14) позволяет нам записать искомое решение задачи Дирихле внутри цилиндра в форме интеграла, зависящего от параметров г и 9. Он существует для всех значений f и г, О < г < /, и удовлетворяет уравнению (1), в чем можно было бы убедиться, дифференцируя интеграл (14) по параметрам 9 и г и подставляя результаты дифференцирования в уравнение (1). Этот интеграл удовлетворяет также граничным условиям (2), в чем мы убедились еще тогда, когда наш интеграл Пуассона был записан в форме ряда (9).
Заметим, однако, что интеграл (14) теряет смысл при г = I (подинтегральная функция обращается в нуль при % Ф 9 и в бесконечность при х = 9, и говорить об интеграле от такой функции не имеет смысла). Поэтому когда говорят, что функция (14)
* Заметим, что из этих же преобразований вытекает также следующий результат;
где символом Im обозначена мнимая часть комплексного числа. Этот результат понадобится нам в следующем параграфе.
Глава 2, § 12
297
удовлетворяет граничным условиям, то под этим подразумевают что Iim и (г, 9) = /(9) при любом постоянном 9.
Интеграл Пуассона дает нам решение плоской задачи Дирихле для круга. В данном случае, искомая функция не зависит от z; поэтому решенная нами задача может быть сформулирована следующим образом: «найти гармоническую функцию и(г,<р) внутри круга радиуса / на плоскости Оху, если на контуре круга эта функция принимает значения, задаваемые функцией /(9)».
Пример. Пусть на поверхности бесконечного кругового однородного цилиндра радиуса / поддерживается следующая постоянная температура:
и ~ 0 при — Jt < 9 < 0;
и—Т при 0 < 9 < п
(при любых г и t). Внутри цилиндра температура установилась. Найти распределение температуры внутри цилиндра.
Здесь дело сводится снова к плоской задаче Дирихле: надо найти гармоническую функцию и (г, 9) внутри цилиндра, если на поверхности цилиндра эта функция принимает следующие значения:
«<л?)и,=г npV^r0,
I T при 0 < 9 < 7Г.
Решение дается интегралом Пуассона. Подставляя в него / (т) = 0 при — тс < т < 0 и T при 0 < T < я, получим
U (Г’ ^ 2л Iі — 2/7 cos (х — <р) I- r% dx' (1
о
Вычислим этот интеграл для положительных значений 9 (О < 9 < л); для этого сделаем замену переменной: tg —= С.
Заметим, что при изменении т от О до к величина пробе-
Л»
гает значения от--------1- до ? ; на этом участке тангенс не-
прерывен и монотонен (напомним, что 9 — фиксированное число, заключенное между нулем и я); следовательно, такая замена переменных в интеграле допустима.
298
Часть Ul
Проделав эту замену переменной, получим Utr «Л -Л Г (I'-г') Ж
и 1Г« 9) — 2« J “ (/ — г)»+ с (/ + г)” ’
-UrJ-
откуда, после интегрирования, подстановки границ интеграции и упрощений, окончательно получим
ТГ (/ + Octg-I- (l-f-r)tg-f-]
U {г, 9)= -^arctg-------J-J---h arctg—^—J-
По этой формуле мы можем найти температуру в любой точке внутри цилиндра при 0<9<я. Например в точке
