Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
He проводя подробного исследования, ограничимся лишь некоторыми наводящими соображениями.
Прежде всего заменим в сумме (3) интегралы в границах от
— I до / несобственными интегралами в границах от — оо до + оо. Каждое слагаемое при этом изменится на величину, стремящуюся к нулю при /-V оо. Примем без доказательства, что при этом и вся сумма (3) изменится на бесконечно малую величину; обозначим ее р. Тогда равенство (3) перепишется следующим образом:
оо -}-оо
/(*)= S -у- J / (т) COS -у- Cc — x)dx + р, (4)
ft= I —00
где P -> О При I-* оо.
* Действительно, для любого k > О имеют место следующие неравенства: / /
_L J / (х) cos Jj- (x—x )dx < —L Jj/ (т) J. |cos Jj- (х—х)
-I —t
t
< _j_ j |/(т)| dx ; последнее выражение стремится к нулю при -I
I
I-* 00 ; но тогда и _I_ J / (т) cos (х — х) dx также стремится к нулю.
ШІаШашф
знінію безгрениц
Глава 8, § 1 321
Запишем теперь сумму (4) в форме, напоминающей интегральную сумму. Для этого рассмотрим вспомогательную ось OX и разобьем ее положительную полуось точками
і * • і ^7t- • і — ^7t •
—¦ J~ > 2 ~ » •“» A I •
Л2 Л3
-» 1 ¦ ‘ 1 0 К Ш M
і 1' 1
на отрезки длины AXa. ~ (рис. 82). Тогда равенство (4) можно будет переписать следующим образом:
OO -j-oo
/(X)= S—- j /(x)cosX*(x — x)dt + p. (Ги
A*=l —00
4 00
I (*
Обозначим выражение j /(x)cosX (x — x) dx через Ф (X):
— 00
+ 00
ф (X) = — j / (X) cos X (х ~ *) dx. (6)
— CO
Это позволит нам так записать равенство (5):
OO
Их) - Y, ф (X*) AX1H-p.
A=I
Полученная сумма напоминает по форме интегральную сумму функции Ф(Х). Однако от интегральной суммы она отличается тем, что: 1) она построена не для конечного отрезка, а для бесконечного луча О <Х < + оо; 2) число слагаемых в этой сумме не конечно, а бесконечно. Тем не менее, ее предел (при ДХл->0 и, следовательно, при I-> 00) равен интегралу от Ф(Х) в границах от О до оо. Этого факта мы не доказываем.
Итак, переходя в последнем равенстве к пределу при ДХл-*0, пли, что то же самое, при I-+ оо, получим (учитывая при этом, что р -> 0):
CO
/(*) = (<I'(X)dX;
6
11 К). С. Очан
¦і
Ak*)
> .і. —
Kfi AAh
г
Рис. 82
322
Часть Hf
вспоминая теперь определение функции Ф(Х) (см. (6)), будем иметь:
CO 4"00
/W= J[~“J /(T)COSX(T-Jr) fifxjdX, (7)
О —оо
или
со +00
/(*) = J--JVocMcosx т cos Xjc -\~ sin Xx sin X*) drdh
О —00
Разбивая внутренний интеграл на два и вынося за знак внутреннего интеграла cos Xx и sin кх (они не зависят от переменной интегрирования т), получим:
/W =
W 4-а» 4-00
= J Tcos Xjf • J / (т) cos X xdx -f- sin X л: • ~ J / (т) sin Xx dx j dX.
О —оо —оо
Введем теперь следующие обозначения:
4-00 +оо
-І- J / (х) cos Irdx = A (X); J / (х) sin Ixdx = B (X). (8)
— 00 —OO
Тогда предыдущая формула примет вид:
CO
f(x)~j [A (X) • cos X д: f- В (X) • sin X лг] dk (9)
о
Формула (9) (или равносильная ей формула (7)) называется интегральной формулой Фурье, а интеграл, стоящий в правой части этой формулы, интегралом Фурье.
Интегральная формула Фурье является естественным обобщением ряда Фурье: если последний давал возможность представить любую ограниченную кусочно-монотонную на (-—/; /)
функцию в виде суммы тригонометрических функций OkCOS ~
Ьл sin то интеграл Фурье также позволяет представить произвольную абсолютно интегрируемую на (—оо; + оо) функции)
Глава 3, § 2
323
в виде «суммы» тригонометрических функций A (X) COS kXt
B(X)sinXjc. Ho в случае ряда Фурье круговые частоты* слагаемых образуют «дискретный спектр»:
те 2« 3« kn
t "j і і "м 2 * •••
В случае же интеграла Фурье круговые частоты образуют «непрерывный спектр»: частота X пробегает всевозможные значения от 0 до -J-оо. Говорят, что в первом случае мы имеем сумму счетного множества слагаемых (их можно занумеровать с помощью натуральных чисел); во втором случае этих слагаемых несчетное множество; здесь уже приходится процесс суммирования с помощью ряда заменить процессом интегрирования (это как бы суммирование несчетного множества слагаемых).
Коэффициенты при «слагаемых» cos Xx и sin Хдг, т. е. функ-ции і4(Х) и B(I), вычисляются по формулам (8). Эти коэффици-с‘нты играют здесь ту же роль, что и коэффициенты ап и Ьп в ряде Фурье.
В следующем параграфе будут даны приложения интегральной формулы Фурье к решению одной задачи математической физики.
§ 2• Распространение тепла в бесконечном стержне
Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности: найти закон распределения температуры в однородном стержне, если известно начальное распределение температуры (при t — 0). Ьудем считать данный стержень бесконечным (т. е. столь длинным, что влиянием температурного режима на концах стержня можно пренебречь). Кроме того, будем считать, что функция от х, дающая начальное распределение температуры, абсолютно интегрируема (т. е. интеграл от модуля этой функции существует, если этот интеграл рассматривать в границах от — оо до -f- оо).
