Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 97

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 110 >> Следующая


!) таккак7=4всюдуна s.-

St 5,

Далее'—= = (grad q-п) и, следовательно, •— = | (grad q-n)\

дп

дп

<|grad<7|; последнее выражение ограничено в шаре достаточно

* Функция q гармонична по условию; что же касается функции то ее гармоничность легко проверяется, если записать эту функцию в виде:

1

Р V (х — *о)а + (У —l/о)* + (г —?oTa ’ д*р д*р д*р

найти ее вторые производные , JtfT и подставить их в выражение

для лапласиана.
336

Часть Illl

малого радиуса, так как |grad<71 = ]/+ [щ-f + . а

частные производные , по условию, непрерывны и,

значит, ограничены в этом шаре. Пусть |grad<7|<A Тогда

—-/I-S ~ — -і4-4т?є* = 4кеА.

е * е

Ifl^-sI-Hfl*5

St St

Произведение 4 тс є А стремится к нулю при є-> 0; следовательно, и (* ( — — dS -> 0 при є -> 0.

JjJ г дп

ГГ в(т)

2) Рассмотрим интеграл ] ] q—1=.— dS. Поскольку нормаль

к сфере St направлена но радиусу, то производная по нормали равна частной производной по г, взятой с обратным знаком (нормаль п, внешняя по отношению к области Vft направлена внутрь сферы; поэтому в направлении этой нормали величина г убывает). Итак,

«(I) o(f)

_________________1

дп ~ <>г ~ г* '

На поверхности Se имеет место г — є. Поэтому

II’ 4rdS =II JJ Ф = =

St St St

= -Jf * ^cp) • 4 * є2 = 4 TC • q (Mcp).

Здесь мы применили теорему о среднем к интегралу ^qdS; точка

Mcp — какая-то точка, лежащая па поверхности сферы радиуса е (с центром в точке M0); при є 0 эта точка стремится к M0, а значение функции q в точке Mcp стремится к <7 (M0) (в силу непрерывности этой функции).

Итак,
їїаІаНатіШ

іяашеСез«рзниц

Глава 4, § 1 337

Перейдем теперь к пределу (при є -> 0) в равенстве (5); учитывая пределы, к которым стремятся иитегралы по S, , а также учитывая, что интегралы по S (в равенстве (5)) не зависят от є,

получим:

4nq (M0) ~ 0,

откуда

<б>

Эта формула дает значение гармонической функции q в любой внутренней точке M0 области V. Однако эта формула не решает еще ни задачи Дирихле, ни задачи Неймана: для вычисления функции q (M) по формуле (6) надо знать и значения самой функции, и значения ее нормальной производной всюду на поверхности S. В случае же задач Дирихле или Неймана нам задана на поверхности S только одна из этих величин (только q—

н случае задачи Дирихле или только ¦— — в случае задачи

дп

І іеймаиа).

Итак, непосредственно эта формула не решает указанных задач. Однако после некоторых преобразований она сможет быть приспособлена для решения задачи Дирихле в тех случаях, когда поверхность S имеет сравнительно простой вид (см. § 2).

В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые приложения формул Грина и формулы (6) к исследованию свойств гармонических функций и к доказательству единственности решения задачи Дирихле.

1. Если во вторую формулу Грина подставить р == 1, а в качестве q взять произвольную гармоническую функцию, то мы получим

-4-dS 0. (7)

дп

я-

S

Таким образом, мы снова установили, что интеграл по поверхности S от нормальной производной гармонической функции равен нулю.

2. Пусть S — сфера радиуса а, внутри которой задана гармоническая функция q. С помощью формулы (6) легко вычис-
338

Часть lit

лить значение этой функции в центре сферы, если известны ее значения на поверхности сферы. Действительно, если M0 — центр сферы S, то внешняя нормаль к поверхности сферы направлена по радиусу, в сторону возрастания радиуса. Поэтому производная по нормали равна производной по радиусу:

Всюду на поверхности сферы имеет место равенство г = а. Поэтому

Этот результат может быть сформулирован следующим образом: «значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому ее значений на поверхности сферы».

Покажем, что выражение, стоящее в правой части равенства (8), действительно можно принять за среднее арифметическое значений функции на поверхности S. Разобьем S на п малых по диаметру, равных друг другу по площади, элементарных площадок ASm. Выберем внутри каждой из этих площадок произвольную точку и рассмотрим среднее арифметическое значений функции в этих точках. Оно равно

дп

дг

Итак,

Ho

Я ^dS = O (см. (7)). Поэтому

дп

s

(8)

л

тг S я (K)-

Неограниченно уменьшая диаметры этих площадок (но сохраняя каждый раз все элементарные площадки одинаковыми по площади), получим в пределе при оо число, которое естестч
Глава 4, § I

339

пенно назвать «средним арифметическим значений функции на .S». Вычислим, чему оно равно:

л

среднее арифметическое равно Hm-- V q(Mk)=

И Mt

Г*

=limTTSs- S-ZWas-

л-AS

Л-+ OO

*=»1

Выражение, стоящее под знаком предела, мы умножили и разделили на Д5, т. е. на площадь элементарной площадки при

л

числе делений, равном п. При п-+оо сумма ]?] <7(МЛ) AS стре-

*“i

мится к интегралу JJ q (M) d S (эта сумма является интегральной);

выражение же я «AS, стоящее в знаменателе, при любом п равно площади всей сферы S (т. е. 4ка*).

Итак,
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed