Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
!) таккак7=4всюдуна s.-
St 5,
Далее'—= = (grad q-п) и, следовательно, •— = | (grad q-n)\
дп
дп
<|grad<7|; последнее выражение ограничено в шаре достаточно
* Функция q гармонична по условию; что же касается функции то ее гармоничность легко проверяется, если записать эту функцию в виде:
1
Р V (х — *о)а + (У —l/о)* + (г —?oTa ’ д*р д*р д*р
найти ее вторые производные , JtfT и подставить их в выражение
для лапласиана.
336
Часть Illl
малого радиуса, так как |grad<71 = ]/+ [щ-f + . а
частные производные , по условию, непрерывны и,
значит, ограничены в этом шаре. Пусть |grad<7|<A Тогда
—-/I-S ~ — -і4-4т?є* = 4кеА.
е * е
Ifl^-sI-Hfl*5
St St
Произведение 4 тс є А стремится к нулю при є-> 0; следовательно, и (* ( — — dS -> 0 при є -> 0.
JjJ г дп
ГГ в(т)
2) Рассмотрим интеграл ] ] q—1=.— dS. Поскольку нормаль
к сфере St направлена но радиусу, то производная по нормали равна частной производной по г, взятой с обратным знаком (нормаль п, внешняя по отношению к области Vft направлена внутрь сферы; поэтому в направлении этой нормали величина г убывает). Итак,
«(I) o(f)
_________________1
дп ~ <>г ~ г* '
На поверхности Se имеет место г — є. Поэтому
II’ 4rdS =II JJ Ф = =
St St St
= -Jf * ^cp) • 4 * є2 = 4 TC • q (Mcp).
Здесь мы применили теорему о среднем к интегралу ^qdS; точка
Mcp — какая-то точка, лежащая па поверхности сферы радиуса е (с центром в точке M0); при є 0 эта точка стремится к M0, а значение функции q в точке Mcp стремится к <7 (M0) (в силу непрерывности этой функции).
Итак,
їїаІаНатіШ
іяашеСез«рзниц
Глава 4, § 1 337
Перейдем теперь к пределу (при є -> 0) в равенстве (5); учитывая пределы, к которым стремятся иитегралы по S, , а также учитывая, что интегралы по S (в равенстве (5)) не зависят от є,
получим:
4nq (M0) ~ 0,
откуда
<б>
Эта формула дает значение гармонической функции q в любой внутренней точке M0 области V. Однако эта формула не решает еще ни задачи Дирихле, ни задачи Неймана: для вычисления функции q (M) по формуле (6) надо знать и значения самой функции, и значения ее нормальной производной всюду на поверхности S. В случае же задач Дирихле или Неймана нам задана на поверхности S только одна из этих величин (только q—
н случае задачи Дирихле или только ¦— — в случае задачи
дп
І іеймаиа).
Итак, непосредственно эта формула не решает указанных задач. Однако после некоторых преобразований она сможет быть приспособлена для решения задачи Дирихле в тех случаях, когда поверхность S имеет сравнительно простой вид (см. § 2).
В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые приложения формул Грина и формулы (6) к исследованию свойств гармонических функций и к доказательству единственности решения задачи Дирихле.
1. Если во вторую формулу Грина подставить р == 1, а в качестве q взять произвольную гармоническую функцию, то мы получим
-4-dS 0. (7)
дп
я-
S
Таким образом, мы снова установили, что интеграл по поверхности S от нормальной производной гармонической функции равен нулю.
2. Пусть S — сфера радиуса а, внутри которой задана гармоническая функция q. С помощью формулы (6) легко вычис-
338
Часть lit
лить значение этой функции в центре сферы, если известны ее значения на поверхности сферы. Действительно, если M0 — центр сферы S, то внешняя нормаль к поверхности сферы направлена по радиусу, в сторону возрастания радиуса. Поэтому производная по нормали равна производной по радиусу:
Всюду на поверхности сферы имеет место равенство г = а. Поэтому
Этот результат может быть сформулирован следующим образом: «значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому ее значений на поверхности сферы».
Покажем, что выражение, стоящее в правой части равенства (8), действительно можно принять за среднее арифметическое значений функции на поверхности S. Разобьем S на п малых по диаметру, равных друг другу по площади, элементарных площадок ASm. Выберем внутри каждой из этих площадок произвольную точку и рассмотрим среднее арифметическое значений функции в этих точках. Оно равно
дп
дг
Итак,
Ho
Я ^dS = O (см. (7)). Поэтому
дп
s
(8)
л
тг S я (K)-
Неограниченно уменьшая диаметры этих площадок (но сохраняя каждый раз все элементарные площадки одинаковыми по площади), получим в пределе при оо число, которое естестч
Глава 4, § I
339
пенно назвать «средним арифметическим значений функции на .S». Вычислим, чему оно равно:
л
среднее арифметическое равно Hm-- V q(Mk)=
И Mt
Г*
=limTTSs- S-ZWas-
л-AS
Л-+ OO
*=»1
Выражение, стоящее под знаком предела, мы умножили и разделили на Д5, т. е. на площадь элементарной площадки при
л
числе делений, равном п. При п-+оо сумма ]?] <7(МЛ) AS стре-
*“i
мится к интегралу JJ q (M) d S (эта сумма является интегральной);
выражение же я «AS, стоящее в знаменателе, при любом п равно площади всей сферы S (т. е. 4ка*).
Итак,