Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
120
Часть II
(в границах от а до b)*. А выражение [ф^ф^Л]^ устремится к нулю; действительно,
a Iim <р*(ч>9'Ы)К(V)) = 0, Iim ?* (E)?'(5) К (5) = 0,
т)-6—0 * Є-*а+0 *
в силу леммы. Итак,
ь
J [ ?Ы* + К-(ф*)2]
а
Xk — ъ ,
J р (<рЛ)а dx
а
откуда (в силу того, что q > 0, /С > 0, р > 0) следует, что ХА;>0.
Докажем теперь третье утверждение теоремы, т. е. докажем, что каждому собственному числу ХЛ соответствует только одна (с точностью до числового множителя) функция 9k (*)¦
Пусть некоторому собственному числу ХЛ соответствуют две различные собственные функции <р(х) и (р(х). Подставляя эти функции в уравнение (1), получим два тождества:
{К 9')' — <7Ф + Хрф = 0,
(/(фУ — <№ H- Хрф == 0,
или
(/(97 = (0-Xp) ф,
(К 97 ^ (0 -Xpfc
Умножим обе части первого равенства на 9, а второго — на 9 и вычтем из первого второе:
Ф (Я фУ — Ф (К ФУ = 0.
Прибавим к левой части равенства выражение К <р'<р' и вычтем его:
(К?')?'+? ШУ - 1?(К?У + ?' (АГф')] - 0.
* Эти интегралы наперника существуют (конечные или бесконечные), в силу неотрицательности на (а; Ь) подинтегральных функций; заметим, что предел интеграла, стоящего в знаменателе, наверняка конечен, так как функция р (9$ ограничена на (а; Ь).
^alaUausMl
зивиие Сез границ ' ^
*3________________________________________________________________ 121
Последнее тождество можно переписать так:
(К?'9)'-{Кп'У^0,
или
(К<р'<р — К99У = °*
откуда
/(ф'ф — /(99'= C,
где С — некоторая постоянная величина.
Найдем С; для этого заметим, что, согласно лемме,
Hm К (х) 9' (х) <р(х) = О, Iim К (х) 9(х)9' (х) = 0. Поэтому
ж-*а+0 дг-»а+0
Iim [ К<р'<р — К9?' ] — 0.
*-а+0
Ho выражение в скобках постоянно; следовательно, оно тождественно равно нулю:
KcP'9— ^ 0.
откуда (так как К (х) =? 0)
9'? — 99' = 0, или _
1 9 9
"Zr
9 9
Таким образом, доказано, что определитель Вронского для двух решений 9 и 9 тождественно равен нулю, откуда следует пропорциональность функций 9 и 9:
9(х) = а • 9(х).
Итак, две собственные*функции, отвечающие одному и тому же собственному числу X, могут отличаться только постоянным множителем.
Четвертое свойство доказывается совсем просто: если бы двум различным собственным числам Xfc и Xm(Xfc=^Xm) соответствовала одна и та же собственная функция 9(х), то имели бы место тождества:
[К (х) 9' (X)J' — q (х) 9 (х) -f Xfc. р (х) 9 (х) == 0,
[К (х) 9' (X)J' ~q (X) 9 (х) + Xm. р (X) 9 (х) = 0.
122
Часть U
Вычитая их почленно, получим
что невозможно, так как р (*)>(), \кф\т и 9(х) отлично от тождественного нуля.
Докажем пятое свойство собственных функций — их ортогональность с весом р(х).
Пусть <рт(х) и <рк(х)— две собственные функции, отвечающие различным собственным числам Xm и ХЛ. Тогда имеют место следующие тождества:
IК (X) 9к (х))' — Я (х) 9k (х) + Х*р (X) 9k (X) s О,
[К (*) 9,п (Х)У — я (X) 9т (X) + Xm P (X) <рт (X) S 0.
Умножим обе части первого из этих тождеств на 9т(х), а второго— на 9k(x) и затем вычтем из первого второе:
[*?;]'?„ — [ к? «]'?*+(**—Юм у»,
Проинтегрируем все члены этого тождества в границах от 5 до 7), где а < ? < Y) < Ь:
J [K(x)9k(x)]'9m(x)dx — ^ [K(x)9m(x)]'<pk(x)dx +
+ (X* — XJ j р (*) 9к (х) 9т (x)dx = 0. (4)
К первым двум интегралам применяем процесс интегрирования по частям:
J [К(х) 9k(x)]' 9m(x)dx = [/С(х)9к (х)<рт (*)]’ -JК(х)• 9k(x)9m(x)dx\
j {К(х)9т(х)\ 9ь(*)йх == [К (x)f'Jx)9l> (х)]’ -)K(x)-<f'Jxyf't(x)dx. Вычитая почленно эти равенства, получим
f [К(X)Vi(X)Y¦?„(X)dx[К(X)VjX)]'-VkWdx =
? Є
= [К (X) 9k (х) 9т (*)]J — [К (X) 9т (х) 9k (*)]* •
ШЇаШатїШ
знэниб Cssбрвниц H
§4
123
Выражения [/C (де) Spi (дг) SPm(Jc)] ^ и [К (х) <рт (х)<р* (х)]^ стремятся
к нулю при S -> a -f О, *»і -> 6 — О (это следует из леммы). Поэтому разность двух первых интегралов в формуле (4) также стремится к нулю при 5->а +0, 7)-+b — 0. Ho тогда к нулю стремится и третье слагаемое в левой части равенства (4), т. е.
Таким образом, ортогональность функций <рЛ (дет) и <рт(х) с весом р(х) доказана.
Выше мы рассмотрели (см. стр. 115) одну задачу на нахождение собственных чисел и собственных функций и убедились на этом примере, что собственные числа и собственные функции обладают свойствами, сформулированными в доказанной теореме. В следующих параграфах будут рассмотрены еще несколько примеров краевых задач, важных для применений.
§ 4. Уравнение Бесселя
Уравнением Бесселя р-го порядка (где р — заданное целое неотрицательное число) называется следующее дифференциальное уравнение*
Это уравнение легко привести к самосопряженному виду, разделив все его члены на х:
Й+0 Qk—Ю f P (*) %(х) 9т (X) dx = 0.
т)-» b—0
или, так как ХЛ ф \т> то
Следовательно,
ь
J P (X) 9k (х) 9т (x)dx=^0.
а
Xt!/' Xi/ + (х9 — р2) у = 0.
(1)
(2)
* Часто приходится иметь дело с уравнением Бесселя и при р нецелом. Однако мы этого случая рассматривать не будем.
124
