Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
117
•у. Краевая задача 3-го типа: у(х) ограничена при х -*¦ а +0, будет ставиться только в том случае, если К(х) -+ Опри х -+ а + 0 (см. замечание на стр. 107). Кроме того, мы будем считать, что в этом случае К(х) представима в виде К(х) = (х— аМ*), где тс(а) ф 0, a q(x) либо ограничена, либо стремится к + оо при х—> о -f- CL
Аналогичные краевые условия (при соответствующих требованиях к функциям К(х), q(x), $(х)) задаются и в правом конце интервала (а; Ь) (при этом, конечно, не обязательно, чтобы краевое условие на правом конце было того же типа, что и краевое условие на левом конце).
Задача нахождения собственных чисел и собственных функций уравнения Штурма-Лиувилля при краевых условиях 1, 2 или 3 типов на концах интервала называется задачей Штурма-Лиувилля.
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма. Пусть функции (р(х) и ср (х) удовлетворяют уравнению (1) и краевым условиям одного и того же типа в точке а. Тогда имеет место следующее равенство.
Iim К(х)у(х)»у'(х) — 0.
х-»о+0
Доказательство. 1. ҐІусть в точке а задано краевое условие 1-го типа. Так как при этом /?(*), q(x), К'(х) непрерывны в точке айв некоторой ее окрестности и К (а) ф 0, то всякое решение уравнения (1) (в частности, cp(jc) и <р(*)) определено не только на участке(а; Ь), но и на несколько большем участке (а — е; Ь)\ эти решения непрерывны и имеют непрерывные производные всюду на (а — е; Ъ). Согласно краевому условию, (р(а) = 0. Следовательно,
Iim К(х) <р(х) ?'(*) = /С(а)ср(а)ср(а) = 0
х-а+0
(К(а) — конечное число по условию; с/(а) — конечное число в силу существования непрерывной производной cp'(jc) всюду на (а—е; Ь)).
2. Пусть в а задано краевое условие 2-го типа. Тогда те же рассуждения указывают, что <р(а)—конечное число. Так как, по условию <р'(а) = 0, то
Iim К (х)<?(х)у'(х) = К (о)<р(а)ср'(а) = 0.
лг-а+0
_ 3. Пусть в а задано краевое условие 3-го типа (т. е. <р(х) и <р(х) ограничены при х->а + 0). Так как мы договорились
118
Часть U
ставить это краевое условие только при К (Jf) = (х — а) тс (х) (где т: (а) Ф 0), то, согласно теореме 2 (§ 2), имеет место:
Iim К(х)у'(х)=0. ж-* а+0
Кроме того, по условию 9 (jc) ограничена при х -> а + 0. Поэтому
Iim [9 (х) К(х) ?(*)] =0.
х-*а+0
Лемма доказана.
Сформулируем и докажем теперь следующую общую теорему.
Теорема. Пусть задано уравнение
(К-уУ ~Я'У + Цу = 0 (1)
и краевые условия1, 2 или 3 типов. Пусть функции К (х), К' (х), q(x) и р (х) непрерывны на интервале (а\ Ь), причем всюду на этом интервале К (х) > 0, q (х) > 0, р (х) > о и р (*) ограничена. Кроме того, пусть на концах интервала эти функции удовлетворяют требованиям а), р) или 7) (в зависимости от типа краевого условия на соответствующем конце интервала; см. стр. 116). Иными словами, пусть задана* краевая задача Штурма-Лиувилля.
Собственные числа и собственные функции этой краевой задачи обладают следующими свойствами:
1) собственных чисел бесконечно много; все собственные числа могут быть расположены в виде возрастающей последовательности, члены которой занумерованы натуральными числами:
X1 <^2 <[ X8 <с.... <с X^ <С •.<;
2) все собственные числа неотрицательны’,
3) каждому собственному числу Xft соответствует только одна (с точностью до числового множителя) собственная функция;
4) каждой собственной функции соответствует только одно собственное число;
5) собственные функции, соответствующие различным номерам k и т, ортогональны друг другу с весом р (л:); это значит, что для любых k и т, таких, что кф т имеет место равенство*
ь
j <pm(x)<pk(x)p(x)dx = 0.
а
Доказательства первого свойства собственных чисел мы здесь давать не будем: это доказательство основывается на теории интегральных уравнений и далеко выходит за рамки данной книги.
SalaUamiWl
знание Ces ерэниц
** 119
Докажем второе свойство собственных чисел. Пусть Xa — некоторое собственное число, а <рк (х) — соответствующая собственная функция. Докажем, что ХЛ > 0.
Так как 9к(х) является решением уравнения (1) при X = ХЛ, то имеет место следующее тождество:
[ К (х) 9к (*)]' — Я(X) (х) + К? (X) 9k (X) = 0. (2)
Умножим все члены ^того тождества на <pk(x) и проинтегрируем его в границах от S до ?), где S и 7) — какие-либо числа между а и b & < & < **1 < Ь*:
j 9k (х) [К (х) 9к (*)]' dx —I q (х) [<рк (*)]» dx +
+ (х) \9k (*))*dx = °.
Найдем отсюда ХЛ:
U (<tk)*dx— J<рЛ-[/С-уА]' dx \ — « ___________t
P'(f*)*dx
Применим ко второму интегралу, стоящему в числителе, правило интегрирования по частям (приняв и = <рЛ, dv = (К9кУ dx):
U-(Vk)tAx- I-•(?*)*dx
K = 1-----------------5-----------!----------. (3)
Jp •(?*)*<**
Устремим 5 к а +0, yj к b — 0. Тогда все интегралы в формуле (3) устремятся к соответствующим несобственным интегралам
* Мы интегрируем тождество (2) в границах от 6 до т). Могло бы по-
казаться, что проще было бы провести доказательство, интегрируя его сразу в границах от п до Ь. Ho это было бы возможно только в том случае, если бы мы были уверены, что все произведения У/, (*)•[/С(*)?*]' И т. д. интегрируемы на [а; 6]. В границах же от 6 до tj все эти функции наверняка интегрируемы, так как они непрерывны на сегменте (6, tjj.
