Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
3) каждая функция Бесселя имеет бесконечное множество вещественных корней. Корни, расположенные на положительной полуоси, могут быть занумерованы натуральными числами в порядке возрастания (как мы увидим впоследствии, это будет вытекать из одного общего свойства собственных чисел);
4) имеют место следующие формулы дифференцирования:
Jf (*)) = — Jptl (х), P = О, 1, 2,... (6а)
1XPle (*)| E XPJ1,., (х), р = 1, 2, 3. (66)
Доказываются эти формулы непосредственным дифференцированием соответствующих рядов (т. е. тех рядов, которые получаются в результате деления или умножения степенного ряда для Jp (х) на хр). Проверку этих равенств мы предоставляем читателю.
В частности
-J0(X)=-Ji(X), (7а)
IxJl Wl = Xj0 (ху, (76)
5) имеет место следующее «ассимптотическое равенство»:
•М*) = V^lFcos {*--T---г): (8)
с возрастанием х точность этого приближенного равенства быстро повышается. Погрешность, получающаяся при замене Jp(х) правой
частью равенства (8), очень мала при больших значениях х
__з
и имеет порядок малости тот же, что и х 2 .
Приближенного равенства (8) мы не доказываем.
Из равенства (8), в частности, вытекает, что функция Jр(х) имеет корни, близкие (для больших значений х) корням уравнения cos [х-----у------j ; что разность между двумя соседни-
ми корнями функции Jp(X) стремится K TC (при удалении этих
0,5 hM
-DA 0 1 г Ъ Ь 5^6 7^.8 9 10
Рис. 53
корней в бесконечность); что график функции Jp(х) при удалении от начала координат имеет вид кривой, изображающей затухающие колебания; длина полуволны этой кривой почти постоянна (близка к jc), а амплитуда убывает обратно пропорционально квадратному корню из х;
6) построим графики функций Бесселя нулевого, первого и 'второго порядков (рис. 53) и приведем таблицу нескольких первых корней этих функций.
^alaUausMl
знэниебездаэниц *
§5 129
Положительные корни функций J0(X)tJi(X)tJi(X).
Корень Функция V-I V-* 1*»
•М*) 2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14.9309
J1(X) 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706
J2(X) 5,136 8,417 11,620 14,796 17,960
Последующие корни этих функций могут быть найдены с помощью приближенной формулы: jxn+1 « |хл + тс; так, например, для функции
H * H + * * 14,9309 + 3,1416 = 18,0725;
|х7 » |хв + « * 18,0725 + 3,1416 = 21,2141, и т. д.
Функции Бесселя называются также цилиндрическими функциями; это объясняется тем, что многие физические задачи, связанные с бесконечным цилиндром (например, задача о распространении тепла внутри бесконечного кругового цилиндра), приводят к функциям Бесселя.
§ 5. Краевая задача, приводящая к функциям Бесселя. Ортогональность функций Бесселя.
Рассмотрим следующую краевую задачу: найти нетривиальные решения уравнения
*У' + ху' + Q** — P2) У = 0, (1)
или, в самосопряженном виде,
(ху'У-----у+ Ixy = 0, (2)
при следующих краевых условиях на интервале (0, /):
I у (х) ограничена при х -> + 0;
I У(Г) — 0- <3)
При этом мы считаем р> 0 — фиксированным целым числом.
Уравнение (2) принадлежит к классу тех уравнений, которые в общем виде были рассмотрены в § 3. Следовательно, к этому уравнению применимы и все те результаты, которые были
там получены. В частности, мы можем утверждать, что задача
имеет нетривиальные решения только для неотрицательных собст-
5 Ю. С. Очан
130
Часть II
венных значений X и что все собственные значения могут быть расположены в виде возрастающей последовательности:
0 Х| ^ Xj <^ ... «С Xj ... .
Найдем все эти собственные числа.
Заметим сначала, что 0 не является собственным числом. Действительно, при X = O уравнение (1) принимает вид:
х*у"-+ ху' — р*у = 0,
которое имеет следующее общее решение*:
при р=0:
у = C1 \-С2 In х
при р> 0
у ~ C1 хр -f- Сгх~р.
В обоих случаях из условия ограниченности решения при х->Ь0 следует, что C2 = 0, а из условия у(I)-Q следует, что C1 = 0. Значит, при X = O наша краевая задача имеет только тривиальное решение, т. е. X = O не является собственным числом.
Итак, все собственные числа данной задачи положительны. Обозначим их X = va, где v > 0, и* перепишем уравнения (1) и (2) в следующем виде:
х*у" + ху' -f (vax2 — р9) у = 0, (1 а)
или
(хуУ — — У + v* ху = 0. (2а)
Эти уравнения легко привести к уравнению Бесселя с помощью замены переменных vx = /. Тогда у’х= y’t-t'x= r/J-v; =
=г/«-
Таким образом, уравнение (Ia) приводится к виду Уп-* + У г* + (** — Pi) У = Ot
т. е.
tVtt + Vi-^(Ii-Pi)y = Ot
* Это—уравнение Эйлера. Вообще, уравнением Эйлера второго порядка называется всякое уравнение вида
п0х*У" + O1 ху' + а2у = / (дс),
где а0, Ot1, а„— постоянные числа. Оно сводится к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью замены независимой переменной х = е{.
§б
131
а это — уравнение Бесселя. Его общее решение:
IJ-C1ZpW +C1Afp (0.
Следовательно, общее решение уравнения (Ia) (и (2а)) имеет вид
у = ClJp (vx) + C2Np (V*). (3)
Определим C1, Ca, V из краевых условий. Условие ограниченности решения при х + 0 приводит к тому, что Ca = 0. Если бы было C2=V^O, то функция (3) была бы неограничена (в силу неограниченности функции Np).