Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 38

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 110 >> Следующая


3) каждая функция Бесселя имеет бесконечное множество вещественных корней. Корни, расположенные на положительной полуоси, могут быть занумерованы натуральными числами в порядке возрастания (как мы увидим впоследствии, это будет вытекать из одного общего свойства собственных чисел);

4) имеют место следующие формулы дифференцирования:

Jf (*)) = — Jptl (х), P = О, 1, 2,... (6а)

1XPle (*)| E XPJ1,., (х), р = 1, 2, 3. (66)

Доказываются эти формулы непосредственным дифференцированием соответствующих рядов (т. е. тех рядов, которые получаются в результате деления или умножения степенного ряда для Jp (х) на хр). Проверку этих равенств мы предоставляем читателю.

В частности

-J0(X)=-Ji(X), (7а)

IxJl Wl = Xj0 (ху, (76)

5) имеет место следующее «ассимптотическое равенство»:

•М*) = V^lFcos {*--T---г): (8)

с возрастанием х точность этого приближенного равенства быстро повышается. Погрешность, получающаяся при замене Jp(х) правой
частью равенства (8), очень мала при больших значениях х

__з

и имеет порядок малости тот же, что и х 2 .

Приближенного равенства (8) мы не доказываем.

Из равенства (8), в частности, вытекает, что функция Jр(х) имеет корни, близкие (для больших значений х) корням уравнения cos [х-----у------j ; что разность между двумя соседни-

ми корнями функции Jp(X) стремится K TC (при удалении этих

0,5 hM
-DA 0 1 г Ъ Ь 5^6 7^.8 9 10

Рис. 53

корней в бесконечность); что график функции Jp(х) при удалении от начала координат имеет вид кривой, изображающей затухающие колебания; длина полуволны этой кривой почти постоянна (близка к jc), а амплитуда убывает обратно пропорционально квадратному корню из х;

6) построим графики функций Бесселя нулевого, первого и 'второго порядков (рис. 53) и приведем таблицу нескольких первых корней этих функций.
^alaUausMl

знэниебездаэниц *

§5 129

Положительные корни функций J0(X)tJi(X)tJi(X).

Корень Функция V-I V-* 1*»
•М*) 2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14.9309
J1(X) 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706
J2(X) 5,136 8,417 11,620 14,796 17,960

Последующие корни этих функций могут быть найдены с помощью приближенной формулы: jxn+1 « |хл + тс; так, например, для функции

H * H + * * 14,9309 + 3,1416 = 18,0725;

|х7 » |хв + « * 18,0725 + 3,1416 = 21,2141, и т. д.

Функции Бесселя называются также цилиндрическими функциями; это объясняется тем, что многие физические задачи, связанные с бесконечным цилиндром (например, задача о распространении тепла внутри бесконечного кругового цилиндра), приводят к функциям Бесселя.

§ 5. Краевая задача, приводящая к функциям Бесселя. Ортогональность функций Бесселя.

Рассмотрим следующую краевую задачу: найти нетривиальные решения уравнения

*У' + ху' + Q** — P2) У = 0, (1)

или, в самосопряженном виде,

(ху'У-----у+ Ixy = 0, (2)

при следующих краевых условиях на интервале (0, /):

I у (х) ограничена при х -> + 0;

I У(Г) — 0- <3)

При этом мы считаем р> 0 — фиксированным целым числом.

Уравнение (2) принадлежит к классу тех уравнений, которые в общем виде были рассмотрены в § 3. Следовательно, к этому уравнению применимы и все те результаты, которые были

там получены. В частности, мы можем утверждать, что задача

имеет нетривиальные решения только для неотрицательных собст-

5 Ю. С. Очан
130

Часть II

венных значений X и что все собственные значения могут быть расположены в виде возрастающей последовательности:

0 Х| ^ Xj <^ ... «С Xj ... .

Найдем все эти собственные числа.

Заметим сначала, что 0 не является собственным числом. Действительно, при X = O уравнение (1) принимает вид:

х*у"-+ ху' — р*у = 0,

которое имеет следующее общее решение*:

при р=0:

у = C1 \-С2 In х

при р> 0

у ~ C1 хр -f- Сгх~р.

В обоих случаях из условия ограниченности решения при х->Ь0 следует, что C2 = 0, а из условия у(I)-Q следует, что C1 = 0. Значит, при X = O наша краевая задача имеет только тривиальное решение, т. е. X = O не является собственным числом.

Итак, все собственные числа данной задачи положительны. Обозначим их X = va, где v > 0, и* перепишем уравнения (1) и (2) в следующем виде:

х*у" + ху' -f (vax2 — р9) у = 0, (1 а)

или

(хуУ — — У + v* ху = 0. (2а)

Эти уравнения легко привести к уравнению Бесселя с помощью замены переменных vx = /. Тогда у’х= y’t-t'x= r/J-v; =

=г/«-

Таким образом, уравнение (Ia) приводится к виду Уп-* + У г* + (** — Pi) У = Ot

т. е.

tVtt + Vi-^(Ii-Pi)y = Ot

* Это—уравнение Эйлера. Вообще, уравнением Эйлера второго порядка называется всякое уравнение вида

п0х*У" + O1 ху' + а2у = / (дс),

где а0, Ot1, а„— постоянные числа. Оно сводится к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью замены независимой переменной х = е{.
§б

131

а это — уравнение Бесселя. Его общее решение:

IJ-C1ZpW +C1Afp (0.

Следовательно, общее решение уравнения (Ia) (и (2а)) имеет вид

у = ClJp (vx) + C2Np (V*). (3)

Определим C1, Ca, V из краевых условий. Условие ограниченности решения при х + 0 приводит к тому, что Ca = 0. Если бы было C2=V^O, то функция (3) была бы неограничена (в силу неограниченности функции Np).
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed