Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3. Рассмотрим уравнение (ху') + • у = 0. Его
решение у = sin In х ограничено при х-*¦ + 0; однако ху' не стре-
OOS |п X
МИТСЯ К нулю при X -+ + 0 (здесь у' = ---------- И ху' = cosln -JCJ
это выражение не имеет предела при х + 0).
Кажущееся противоречие с теоремой 2 объясняется тем, что
здесь не выполнены условия этой теоремы: здесь q(x) = —- и,
следовательно, функция q(x) не является ни ограниченной, ни стремящейся К 4- 00 ПРИ * -* + 0.
Из этого примера видно, что условия, наложенные на q(x), существенны.
§3. Собственные числа и собственные функции
В § 1 нами была рассмотрена задача о решении линейного однородного уравнения при заданных краевых условиях.
В настоящем параграфе мы вернемся к этой задаче. Рассмотрим уравнение
где X — постоянное число, К(х), q(x), р(х) непрерывные на (а\ Ь) функции, причем К(х) имеет непрерывную производную. Будем считать, кроме того, что во всех точках этого интервала К(х) >0, р(х) > 0, q(x) >-0; при этом р(х) ограничена на (а; Ь). Уравнение
(1) называется уравнением Штурма-Лиувилля.
с теоремой, произведение
стремится
(Ку'У — qy + Ъру = 0,
0)
SalaUausJM
знениеСезераниц
$2 115
Ясно, что уравнение Штурма-Лиувилля является частным случаем самосопряженного уравнения (1), рассмотренного в предыдущем параграфе; только вместо q{x) из уравнения (1), § 2, здесь подставлена разность q{х)—X р (*).
Пусть нам заданы какие-либо однородные краевые условия (вроде тех, которые были рассмотрены в § 1). Te значения X, при которых уравнение (1) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее заданным краевым условиям, называются собственными числами (или собственными значениями) данной краевой задачи, а нетривиальные решения, отвечающие этим X, — собственными решениями (или собственными функциями).
Пример. Дифференциальное уравнение
У"+ 4= 0 (2)
является частным случаем уравнения (1): здесь К = I, р = 1, q — 0. Зададим следующие граничные условия на интервале (0; /): у{0) = 0; у{1) = 0.
Общее решение данного уравнения (2) таково:
у = C1Cos *УХ~+ C2 SinJtVT (при X >0), у = C1 + C2 х (при X = 0),
у = СхехуГ~х + C2 е ~хуГ~х (при X < 0).
При X = O данным краевым условиям удовлетворяет только функция у — 0 (действительно, подставляя в общее решение у= = C1 + С2д: сперва х = 0, у = 0, а затем х = /, у = 0, найдем: C1 = 0, C2 = 0). Итак, X = 0 не является собственным числом данной краевой задачи.
Также не являются собственными числами ни одно Х<0: подставляя в общее решение данные краевые условия, получим C1 = C2 = 0, откуда у = 0.
Пусть теперь X > 0. Подставляя краевые условия в общее
решение у = C,cosjc]/ X-J- C2 sinV~X, получим C1=O, C2Sin /VaX = = 0. Эта система допускает, кроме тривиального решения C1=O, C2 = 0, также следующие нетривиальные решения: C1 = 0,
С2ф0,1 УТ = kтс, где k — произвольное целое положительное
число. Итак, все числа X = -Jr- являются собственными
kizx
числами данной краевой задачи, а функции у = sin-y-—собственными решениями или собственными функциями (собственное решение здесь определяется с точностью до постоянного множителя— в данном случае с точностью до множителя C2; мы
116
Часть Il
приняли в качестве собственного решения ту функцию, которая соответствует значению C2 = 1).
Укажем некоторые свойства полученной системы собственных значений:
х — "2 • х — \ — к*п*.
I JJJ » 2 »•••! ^ || С”
и собственных функций:
. пх . 2пх кпх
yY = sin—; уъ = sin -J-;...; ук = Sm—;-
1. Собственных чисел имеется бесконечно много; все собственные числа могут быть расположены в виде возрастающей последовательности, члены которой занумерованы натуральными числами.
2. Все собственные числа неотрицательны.
3. Каждому собственному числу Xft соответствует только одна (с точностью до числового множителя) собственная функция ук.
4. Каждой собственной функции соответствует только одно собственное число.
5. Собственные функции, соответствующие различным номерам, ортогональны друг другу на участке (0; /); это значит, что интеграл от произведения двух таких функций в границах 9т 0 до І равен нулю:
/
Г . knx . TtlItx .
\ sin -J- sin -J- dx = и .
о
Проверить это равенство легко непосредственным интегрированием (для этого надо сначала представить произведение синусов в виде алгебраической суммы с помощью следующей формулы тригонометрии: sin a-sin P — у cos (а — Р)—cos (а + (J)J .
Все эти свойства собственных чисел и собственных функций
рассмотренной здесь краевой задачи могут быть обобщены на краевые задачи очень широкого класса.
Прежде чем формулировать общую теорему, условимся, какие краевые задачи будем ставить.
а. Краевая задача 1-го типа: у(а) = 0 будет нами ставиться только в том случае, если функции K(x)f К'(х), q(x)f р(*) непрерывны не только на интервале (а; Ь), но и в точке а и ее окрестности, причем К(а) ф 0.
р. Краевая задача 2-го типа: у'(а) = 0 будет ставиться также только в том случае, если К(х), К'(х), q(x), р(х) непрерывны а точке а и ее окрестности, причем К(а) ф 0.
