Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
іїаїаИатїШ
інамюСезфаниц ч'ь
І'З ___________________________________________________________________ IM
Применим теперь к полученному интегралу теорему о среднем*
*•
у2(х) = (х — a)nz(x) [ C1 + С Я(Т).[2(T)j2 J (/_а)ал+1 ] » (5)
х
где X < X < X0.
Вычисляя последний интеграл, найдем при п> О
уг(х) = (х — a)nz(х) [C1 — 2nit(T)l*(T)]* ((Jt0-A)Sn (Jt-а)8Л )] ’
или
. ч ~ . Sn / \ С-г(х)-(х— а)л ________C'zjx)_______
Уъ(х) — Сх(X a) Z (X) 2л*(т)[г(т)12(х0 — а)8И + 2лті(т).[г(т)]а-(х — a)n ’
Здесь первые два слагаемых стремятся к нулю при х -+а + 0, а последнее — к бесконечности**. Следовательно, у2(х) ->¦ оо при х -*> а -f 0.
Мы рассмотрели случай л>0. Если же п=0, то равенство (5) перепишется следующим образом:
йМ = Ф)[С, + -эдцдр- 1"(*о - а) In (х - с)],
откуда снова вытекает, что у2(х) -> оо при х-± а + 0. Теорема доказана.
* Напомним формулировку теоремы о среднем: «если две функции f(t) и непрерывны на [а; Ь], причем «};(/) ф 0, то внутри [а; b] найдется
ь ь
точка X такая, что имеет место равенство: J =¦ у(%) J^O^*-
а а
В данном случае эта теорема применима, так как функции MO — JjZlJy*"+!
И = «(O'HOj1 непРеРывны на Iх* *о]. привем «КО?=о.
** Если Iim тс(дс) • [г(ж)]а — В Ф 0, то мы можем подобрать Jt0 так, чтобы на
х-*а+0
В 3 в
(а; х0) функция «(*)[z(x)la была заключена между -у и -у . Тогда дробь
*(*) Т2(*)]а бУдет оставаться (при х-*-а + 0) по модулю ограниченной чис-
2 2
лами и 'Щ”- Следовательно, ее произведение на (х — а)п стремится к
1
нулю, а ее произведение на ^__________а^п стремится к бесконечности при
х —*¦ a -f- 0.
112
Часть II
Легко видеть, что аналогичная теорема справедлива и для правого конца интервала (а; Ь) (т. е. при х -*¦ b — 0).
Пример 1. Уравнение
*У' + ху' — у = 0 легко может быть приведено к самосопряженному виду умножением на —: х
ху" +.у' —^у = о,
или
WY--V = °-
На интервале (0; +ео) функция К(х)^х отлична от нуля, причем К(х)-+0 при X-*- + 0. Одно из решений этого уравнения уг(х) = х ограничено при х -*¦ + 0; его можно представить в виде Уі = (х — 0)-1. Другое решение, в соответствии с теоремой 1, должно быть неограниченным при х-* + 0. Это действительно
так: легко проверить, что функция у2 = — удовлетворяет урав-
нению и стремится К с» при X-+ -f 0.
Теорема 2. Пусть К(х) обращается в нуль при х = а, причем К(х) = (х — а)ъ{х), где тс(а)>0, a q{x) либо ограничена при X-*- а + 0, либо стремится к 4- °о при х-+а-\-0. Тогда для любого, ограниченного при х-+а-\-0, решения у{х) уравнения (1) имеет место
Iim К(х)у'(х) = 0.
х-*а+0
Докажем эту теорему для того случая, когда q(x) ограничена при X-+ а + 0 (доказательство для того случая, когда q(x) -+ + с» при х-+а + 0, значительно сложнее, и мы его опускаем).
Подставим у{х) в уравнение (1) и проинтегрируем полученное тождество в границах от х до х0, где х и X0 — некоторые точки интервала (а; Ь):
-fc IK (х)у'(х)) — q(x)y(x) = 0, (6)
К(х0)у'(х0) — К(х)у'(х)— J q(t)y(t)dt = 0.
х
Следовательно,
X0
К(х)у'(х) з K(X0)y'(X0) - J q(t)y(t)dt. (7)
ftalaUamtMl
§2
113
Первое слагаемое постоянно; второе (интеграл) имеет конечный предел при х-+а + 0; этот предел равен несобственному ин-*•
тегралу J q(t)y(t) dt*.
а
Обозначим функцию от х, стоящую в правой части равенства (7), через Q(x), а ее предел при х-^а + 0— через M; докажем, что M = 0.
¦f
*о
в
Рис. 52
Пусть МфО. Опишем около а такую полуокрестность (a;xL) (рис. 52), что для всех х из этой полуокрестности
I Q(X)I j_| М
I 4х) I 2 |л(а)
(что возможно, так как Iim = ф 0). Перепишем теперь
х-»а+0
тождество (7) в следующем виде:
или
KW(X) = Q(X)f
ичх) = <М. = -Ш_________
У W — К{х) — (X-O)Tt(Jt) ’
и проинтегрируем его в границах от х до X1:
dt.
Применяя к этому интегралу теорему о среднем, получим:
\у{хх)—#(*)! = IJ-^
Q( О
aMO
dt
Tl(T)
*1
г_*.
J 1-а
*#
>
M іi(a)
• In
X1 — a х — a
+ оо (при X -»¦ а + 0).
* Существование этого несобственного интеграла вытекает из непрерывности и ограниченности подинтегральной функции q(t)y(t) на интервале (а; х0).
** х — некоторая точка на интервале (х; X1); следовательно, т принадлежит интервалу (a; X1), а, значит,
QCO
Tl(T)
>1
M Tl (а)
114
Часть II
Ho тогда у (л:,) — у(х) -> сю, а, следовательно, у{х)-> со, что противоречит условию ограниченности решения у(х) при х-+а-\-0. Итак, предположение, что M Ф О, было неверным; значит, M = O1 т. е. Iim К (х) у'(х) = 0. Теорема доказана.
лс-»а+0
Аналогичная теорема справедлива и для правого конца интервала (а; Ь) (при х b — 0).
Пример 2. Уравнение ху" + y' — • у = 0 может быть записано так:(ху')--^-у = 0. Здесь q(x) + со при
х + 0. Одно из решений есть у = V х; оно ограничено в правой полуокрестности точки X = 0. Производная от этой функции у'=—1J= неограничена при х-+ + 0, однако, в соответствии
‘г •*
к нулю при X + 0.
