Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Часть II
Попытаемся найти решение этого уравнения в виде суммы степенного ряда по степеням
У — Ь0 + Ьхх + Ь2х* + ... -\~Ьпхп + ... (3)
Для удобства дальнейших вычислений изменим обозначения: обозначим буквой а0 первый из коэффициентов ряда (3), отличный от нуля, а буквами O1, а2, а8... — все последующие коэффициенты. Конечно, может случиться, что уже Ь0 Ф 0; тогда Ь0 — а0, 6,=
= O1..... Если же b0 = = ... = bm_i = О, ЬтФ 0, то обозначаем
bm = а0, bm+1 = Q1, bm+2 = O2 и т. д. Итак, в общем случае
у = Ci0Xm + O1Xmn -+ а2хт+‘+ ... + апхт*п + ... , (4)
где т > 0, а0 Ф 0.
Почленно дифференцируя ряд (4), найдем у'\ затем, умножая ряд для у' на * и еще раз дифференцируя, получим
(ху')' = a0m*xm~l + O1 (т + 1)8дст + а2 (т + 2)*хт*14- ...
... + ап (т + л)8л:т+л~1 + ... .
Подставляя выражение для (ху')' и для у в уравнение (2), будем иметь следующее тождество:
a0rn2xm~l + O1 (т + \)*хт + а2 (т + 2)“ хт*1 + ...
... + ап (т + nfxm*n~l + ... — а0рРхт~1 — ахр*хт — O2PtXm*1 —...
... — CinP2Xm*п~1 —... + O0Xm*1 + ... + ап_2хт+п~1 ... = 0.
Приравняв нулю сумму коэффициентов при каждой степени х, составим бесконечную систему уравнений для определения коэффициентов:
а0 (ш2 — р2) = О, а і \(т + 1)* — PaJ = О, с2 [(т + 2)а — р2] -Ь O0 = 0. а3 [(т + З)8 — P8J + а, = О,
[(т + п)2 — p8J + ап_2 = О,
Из первого уравнения системы находим, что т1 — р* = О (так как O0 ф О по условию). Следовательно, т = р (напомним, что т— неотрицательное число; следовательно, тф—р).
DataHausiMl
знание Ces границ
t±_________________________________________________________ 125
Из остальных уравнений находим alt a2, a3,..., a„,однако, для облегчения вычислений, преобразуем сначала выражения в квадратных скобках (учтя, что т = р):
a. Kp + D1-P1I = O. я* Hp + 2)* -р*) + O0 = о, о, Kp + 3)* - P1] + о, = о.
оя Kp + «)*—р*] + ал-а = о.
или
A1.(2р 4-1)==0,
Oi 2-(2р 4- 2) = — а0,
а» 3 • (2р 4- 3) = — ’Al.
а* 4.(2/7 4-4) = - ' O2,
оп П‘(2р + п) = — ап-а
Отсюда видно, что O1 = а3 = аъ — ... = а2Л+| = ... = О,
п ---- П° . ГГ -- а2 _ flO
aS — о /о„ -L » “4 —
8 2<2р + 2)’ 4 4(2р + 4) 2-4-(2р + 2)(2р + 4) 1
а„ =____________= ________________Z^o__________________ и т п
6 (2р + 6) 2-4-6-(2р 4-2) (2р 4-4) (2р +6) Д*
Вообще, O2* = ~2.4 ... 2*•(2р + 2°) • (2pV 4) - (2р + Щ =
Qq(-0*_______________ в п0-р1 (-1)* „
2k-k\ 2 *(р4~ Г) (Р + 2)... (р + Л) 2** - /г! (р + /г)! *
Подставляя найденные коэффициенты в ряд (4) и учитывая, что т = р, получим:
у = а0\хР------- —^-------хр+* 4----------------------------------^+4-... 4-
0L 2я-1! (р-Ь 1)! 2«"21(р + 2)! ^
+ + -I •
2*k-k\(p+k)\ J
или
• Для того чтобы эти формулы оставались справедливы и при d ¦= О
Л = 0, полагают, как обычно, 01 = 1. г н
126
Часть II
Для упрощения этого ряда вынесем за скобки р!; кроме того,
разделим все члены ряда на 2Р и умножим на 2^ всю сумму ряда:
Ряд, стоящий в квадратных скобках, абсолютно сходится для всех значений х (это легко проверить с помощью признака Даламбера). Сумма этого ряда называется функцией Бесселя порядка р и обозначается Jp(x)\
Решением нашего уравнения является любая функция вида A Jp(X) (буквой А обозначено число а0-2Р*р!; поскольку а0 может принимать любые значения, то и А может принимать любое постоянное значение).
Функция Jp (*) ограничена при х -*¦ + 0; действительно, Jp (х) непрерывна для всех х (как сумма сходящегося степенного ряда) и, следовательно, ограничена в окрестности любой точки — в частности, в окрестности нуля.
Для того чтобы исследовать вопрос о втором частном решении, линейно независимом с Jp (х), воспользуемся теоремой 1 из § 2. В данном случае роль К (•*) в дифференциальном уравнении Бесселя играет функция х (т. е. К(х)~(х — 0)-1). Найденное нами частное решение J0 (х) может быть записано в виде:
или Jp(x)- ^ (х—0У'-Z(Jt), причем z(0) Ф 0. Следовательно, в данном случае применима указанная теорема 1. Из нее вытекает, что второе частное решение, линейно независимое с Jp(x), неограничено в окрестности нуля. Обозначая одно из решений, линейно независимых с Jp(Jt), через Np (х) (эта функция называ-
(5)
J0 (х) — хр\ —
°w L pw
11 (р+ 1)12/»+*
^IalaUausMl
гнаниевезерэниц ' ^
§4
127
ется функцией Неймана), запишем общее решение уравнения следующим образом:
У ~ CitJpix) "ЬСъ'Мр (х).
Функция Неймана Np (х) неограничена при х -> + 0.
Укажем на некоторые свойства функций Бесселя:
1) функции Бесселя четного порядка являются четными функциями (так как в их разложении в ряд содержатся только четные степени аргумента). Функции Бесселя нечетного порядка— нечетные функции; -
2) все функции Бесселя определены и непрерывны на всей числовой прямой и имеют производные любого порядка; это следует из того, что любая функция Бесселя разложима в степенной ряд, сходящийся для всех значений х, а сумма степенного ряда, как известно, является непрерывной функцией, имеющей производные всех порядков;
