Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Pa(X) = I. P1(X) = *, Pa(X) = 3^"1 ,
Р,(х) = '5itaJ3x , P1 (х) = 3S^-M** + 31
„ 63*»-70**+15*
' ь w — g # • • •
Из общей теории (§3) следует, что:
1) каждому собственному числу \ = т(т-\- 1) соответствует только одно (с точностью до постоянного множителя) решение Pm(X)t ограниченное на (— I; 1);
2) два различных полинома Лежандра ортогональны друг другу на отрезке (— Г, 1) (с весом равным 1):
і
j P і (х) Pj (Jt) dx = 0 при і Ф j. (6)
-і
Отметим, кроме того, следующее свойство полиномов Лежандра:
і
J IPm (Jt)Pix--J5Lr (7)
при любом т > 0. Доказательство формулы (7) основано на последовательном интегрировании по частям. Для того чтобы провести это интегрирование, введем следующие обозначения:
р{тп (X) = S1W(**¦-1)";p^' (*)= т*1)™; ......................; PtmlW= (**->)"•
140
Часть II
Очевидно, что Pim 0 (х), Pm 2) (х),________ P1m т) (х) являются по-
следовательными первообразными от полинома Лежандра Pm (х). Заметим, что Р(тт)(х), Р{тт+Х) (х),..., Pim 1) (х) обращаются в нуль в точках — 1 и + 1*-
Рассмотрим теперь искомый интеграл
і і і
J [Pm(X))'dx = j- :Pm(X) Pm(X)IdX = Pm (X) р?г'>(X) I -
-I -I -1
I 1
— j Pm(X) P1m 0 (*) dx = — j Pm(x)Plml)(x)dX =
-I —1
I I I
=-Рт(х) Р{т2) (х) I + j Pm (x) Pim2' (x) dx = j Pm (X)P1m21 (x) dx.
-I -I -I
Здесь мы дважды применили интегрирование по частям (приняв в первый раз и = Pm (х), dv = Pm (х) dx, v = P\nl) (х); во второй раз
и = Рт{х), dv — P{ml)(x) dx, V = Рт2) (х). При интегрировании
учтено, что Pt1’ (1) = 0,/^(-1) = 0, Pt2’ (1) = Pt1’ (-1)= о.
Применяя таким же способом интегрирование по частям еще несколько раз (в общей сложности т раз), в конце концов получим
і і
J [Pm(X)?dx = (-Ir (Pi?'(x)-P?""(x)dx. (8)
-I -1
Заметим теперь, что
& W -;nW[-?- “ »тИ<*>->ГГ -
= пTTori [ х*т ~~ тх*т *+•••] = 1;
учитывая, кроме ТОГО, ЧТО Р(тт) (х) = (х* — l)w, перепишем ра-
венство (8) следующим образом:
* Это следует из того, что 4-Ій — 1 являются m-кратными корнями для функции Р(“от)(дг) (Xа—1)т; следовательно, все производные
от этой функции до (т—1)-го порядка включительно также обращаются в нуль при * = 41- 1 и при х — — I .
ШЇаЙашМі
знэниебецршпі * ^
*б 141
I /__j \m / 2m )! r
j IPm(X)FdX= m 12я*. tn І~2”~ J (^a-1Г ^-
-I —I
== (m l)a2am J (I — **)m • (9)
Последний интеграл легко вычисляется по частям. Обозначим і
Im = j (I — х*)т dx и примем и = (I — х2)т, dv = dx.
—і
Тогда
1I С
Im = X (1 — **)т — J х • /я (1 — *я)т"1 (— 2л:) dx =
-і -і і і
= 2т J (1 — х*)"1-1 dx = 2т J [ 1 — (1 — х*)]( 1 —л:3)'”'1 dx'= -і -і it і
= 2т J (1 — х*)т~1 dx — 2mj (I — х2)т dx = 2m (Im_x — Im).
—і -і
пт
Из равенства Im = 2т( Im.x — Im) получаем Im = - ^ - 1т_х.
Применяя эту формулу должное число раз, сведем Im к /0:
j 2т . _ 2т 2т — 2 .
т ~ 2rn -f- I ' т~х ~ 2m+ I * 2т— I п~% — • • ¦ “
2т' 2т — 2 2т — 4 2 .
"" 2т + I * 2m — 1 ' 2т — 3 *'' Hf' 0 =
2т 2т — 2 2т — 4 2 „
^ *
2 т + 1 2т — 1 2т — 3 * ’ * 1
і
так как I0 = j dx = 2. Подставляя теперь найденное значение I1 -і 1 в равенство (9), получим окончательно
f I D І \іза (2m)l 2m- (2m — 2)...4-2 „
J I * т Wl ах = (т I)» 2ат ' (2т + 1) - (2т — 1).. . ЗЛТ ‘ z~~
-1
(2т) 12* • т! п (2т) 1 2
“ (ml)32*m • (2т+1)(2т—1).. .3-1 т”|2т-1 - 3 • 5". .. (2т + 1) '
(2т) 1 • 2 2
(2т 1)! ~ 2т + 1 *
142
Часть II
Таким образом, формула (7) доказана.
Докажем еще одно свойство полиномов Лежандра.
Полином Pm (х) имеет т различных действительных корней; все они расположены на интервале (—I; 1).
Рассмотрим функцию1)от; она имеет два корня — 1 и + 1; следовательно, по теореме Ролля, производная от этой функции (т. е. функция Р%Гт+1) (*)) имеет корень а, за-
Рис. 56
ключенный между — 1 и 1. Кроме того, как было замечено раньше, функция Р{тт + Х) (х) имеет корни—1 и + 1. Поэтому производная от PinTm + 1> (х) (т. е. функция Р{т~ т + 2) (*)) имеет корни: P1, заключенный между — 1 и а, и р2 — между а и + 1. Кроме того, Рт~т + 2> (лс) имеет корни — 1 и + 1. Продолжая аналогичные рассуждения, придем к тому, что Рт~т+3) {х) имеет три корня между —1 и I, P(m”m + 4) (х) — четыре корня и т. д. и, наконец, Рт(х) имеет т различных корней между—1 и I.
Используя доказанные свойства полиномов Лежандра, а также учитывая, что полином Pm (х) является четной функцией при
§7
143
т четном и нечетной функцией и при т нечетном, можно построить графики нескольких первых полиномов Лежандра (рис. 56).
Уравнение Лежандра п-го порядка
Рассмотрим теперь общее уравнение Лежандра
y"(l-x2) — 2xy/-\-y^ — 1~ri j = 0, (I)
или, в самосопряженном виде,
[y'(l -x'tf-j-^y + ly^O. (2)
Поставим краевую задачу; найти на интервале (—1; 1) то решение этого уравнения, которое ограничено при х-> — 1+0 и при х 1 — 0. Поскольку эта задача является частным случаем задачи Штурма-Лиувилля (см. § 3), о ней можно высказать следующие утверждения.
Все собственные числа не отрицательны; собственные решения, отвечающие различным собственным числам, ортогональны друг другу (с весом 1), т. е.
