Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
1) У(а) ~ 0, y(b) = 0 (краевые условия 1-го типа);
2) у'(а) = 0, у'(b) = 0 (краевые условия 2-го типа);
3) у(х) ограничено при х-±а + 0 и при х^Ь — 0 (краевые условия 3-го типа).
Кроме перечисленных, однородные краевые условия могут быть смешанного типа, например, у{х) ограничена при х^а H- 0, у(х) = 0 при х = Ь.
Заметим, что если в некоторой окрестности точки а все коэффициенты уравнения (а0, alt а2) непрерывны, причем а0^=0, то ставить третье краевое условие (т. е. требовать ограниченности частного решения при х-»-аН-0) не имеет смысла: в этом случае любое решение ограничено в окрестности точки а. Условие ограниченности решения при х-+а + 0 имеет смысл ставить лишь тогда, когда какая-либо из функций a0t alt а2 терпит разрыв при X = а, или тогда, когда а0 = O при х — а.
Аналогичное замечание имеет место и для правого конца интервала (а; Ь).
Каково бы ни было однородное уравнение (1) и каковы бы ни были однородные граничные условия, им всегда удовлетворяет тривиальное решение у = 0.
Если существует функция ср(лг), отличная от тождественного нуля и удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению и данным однородным краевым условиям, то говорят, что <р(*) является собственным решением заданной краевой задачи.
Пример 1. Найти собственные решения уравнения у" + у —0, удовлетворяющие краевым условиям: у{0) = 0; у (к) = 0.
Собственным решением этой краевой задачи является функция = sinлг, а также все функции вида у = C-Sinx (где C = = const, Ci= 0).
Пример 2. Краевая задача у" + у = 0, где #(0) = 0,
= 0, не имеет ни одного собственного решения. Действительно, общее решение таково:
у = C1 cos х H- C2 sin х;
подставляя сюда граничные условия, получим: C1 = 0, C2 = 0. Следовательно, единственной функцией, удовлетворяющей этой краевой задаче, является тривиальное решение у = 0.
108
Часть 11
Прежде чем переходить к изучению вопросов, связанных с краевыми задачами, рассмотрим некоторые общие теоремы о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка.
§ 2. Самосопряженное уравнение второго порядка
Линейное однородное уравнение второго порядка, записан ное в следующем виде:
называется самосопряженным уравнением. Здесь К(х) и q{x) — непрерывные функции на (а; b), причем К(х), кроме того, имеет непрерывную производную на (а; Ь).
Докажем, что всякое линейное однородное уравнение
(где щ, а1г а2 непрерывны на (а; Ъ), причем ra0 0) может быть приведено к самосопряженному виду (1). Для этого достаточно умножить обе части уравнения (2) на функцию ц (х), которую подбираем так, чтобы выполнялись равенства:
G0 |х (л:) = К(х) и C1JA (х) = К'{х), т. е. чтобы имело место
-^lK(X)-у'] — q(x)-y = 0,
О)
«о у" + а\У' + а*у = О
(2)
[O0 I* Wl' = Ol Iі (х).
Отсюда находим }*(*):
[gp t* (*)Г _ _?i_
во P (*) Яо ’
и, следовательно,
откуда
MoIfous^
§2
109
А теперь приведем уравнение (2) к самосопряженному виду, умножив все члены этого уравнения на найденное выражение для |х (х) (приняв, например, C = I):
Докажем некоторые теоремы о решениях самосопряженных уравнений.
Теорема 1. Пусть К(х) обращается в нуль в точке х = а, причем К(х) = (х — а)к(х), где ъ(а)ф 0. Тогда, если одно из решений уравнения (!) может быть представлено в виде Уі=(х—а)пг(х), где z (а) Ф 0, я>0*, то другое решение, линейно независимое с ним, стремится к бесконечности при х-+а -f 0.
Доказательство. Пусть уг(х) и у2(х) —линейно независимые решения уравнения (1), причем yt(x) = (х — а)п-г(х). Подстаь-ляя эти решения в уравнение (1), получим следующие тождества:
Умножая первое из них на у2, а второе—Haiz1 и затем вычитая одно из другого, получим
или
d_
dx
= 0.
Уравнение приведено к виду (1): здесь
? №/i] —<7^ = 0; ^ [Ку'г\ — <7^2=0.
Это можно переписать так:
[Ky[y*Y — [Ky&iY = °.
* Число я может бытьГи не целым.
HO
Часть Il
или
[К(у\уг— У2Ух)\' = 0,
т. е.
К(*/',& — У2Уі) ss С, (4)
*
где С — некоторая постоянная; она отлична от нуля, потому, что
К#0 по условию, а у\у2 — у2уі =
У\ У і ф 0, так как решения
У2 Ух
yv и у2 линейно независимы, и их опргделитель Вронского отличен от нуля.
Выберем теперь столь малую правую полуокрестность (а;а+е) точки а, чтобы в этой полуокрестности было всюду г(х)=?0. Тогда всюду на (а; с+ є) функция yt(x) также отлична от нуля. Учитывая это, перепишем тождество (4) следующим образом:
у[Уг — У2Уі С
ИЛИ
У і к-у]
(у*.)' = ~с Ui/ ” jc-jff ’
** X0
a «¦?
Рис. 51
Интегрируя это тождество в границах от х до х0, где X0 — некоторая фиксированная точка интервала (а; а 4-є), a х — произвольная точка, лежащая между а и X0 (рис. 51), получим*
X9
У а(*0) Уг{х) f —С
CU.
Уі(*о) Уі(х) J Ky2x
X
Обозначим .¦ = Cv Тогда Уі(*о) 1
X«
Уг{х) = Уі(х) [ C1 + С j ~щ\ .
X
Учитывая далее, что yt(x) => (х— a)nz(х) и что К(х) = (х — а)т.(х), получим
Уг{х) = (х — а)пг(х) [C1 + Cj ^ — а)те(0-(^ — а>ал[2(/)1*] *
* Переменную интегрирования мы обозначили через t.
