Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Докажем сначала, что поток вектора rot Л через любую замкнутую поверхность S равен нулю (рис. 50). Это следует сразу из теоремы Стокса:
JJ rot Л - ndS = JJ rot Л . /Г-dS+ JJ rot Л -IidS =
S S1 S2
= J Adl + \~Adl = 0.
/+ i~
Здесь мы разбили поверхность 5 на части S1 и S2 (с помощью линии /), и к потоку через каждую часть применили теорему Стокса. При этом мы учли, что интеграл по S1 равен криволинейному интегралу по кривой /, взятому в направлении, указанном стрелкой, а интеграл по S2 равен криволинейному интегралу по
I, взятому в обратном направлении (это отмечено так: J/+ и J/-).
Ясно, что сумма этих интегралов равна нулю.
Для того чтобы вычислить теперь div rot Л в точке M1 достаточно вспомнить определение дивергенции:
J J rot Л • п ¦ dS
s
div rot Л jM= Iim
V^M
= 0.
Здесь учтено, что числитель дроби, стоящей под знаком предела, тождественно равен нулю.
Последних двух операций второго порядка (rot rot Л и graddiv Л) мы не будем подробно рассматривать. Укажем только, что они, вообще говоря, не приводят к тождественному нулю.
Между этими операциями существует тесная связь. Она может быть записана с помощью следующей формулы: если поле
104
Часть I
А задано в декартовой системе координат:
А = AJ. + Ayj + Azk,
то
grad div A = rot rot A + Af (2)
где под Л\А подразумевается следующий вектор:
/л\А = /л \ Ar-i + /"л \Ay-І + /л s AzIt.
В справедливости формулы (2) читатель может убедиться непосредственным вычислением (в декартовой системе координат).
іїаіаИашїШ
знание CeJ tpSHUU
ЧАСТЬ II
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
§ 1. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Собственные решения
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
Gof + сцу' + Ci2IJ = 0, (1)
где а0. OLlfOi—непрерывные на интервале (а; Ь) функции, причем O0 не обращается в нуль внутри этого интервала.
Как известно, в этом случае общее решение имеет вид:
*/ = C1Cp(Jc)+ C2 ф(*), (2)
где <р(*) и ф(я) — два частных решения, образующие фундаментальную систему (т. е. такие решения, для которых определитель Вронского
>(*) <!>(*)
*'(*) ф '(*)
w(x) =
отличен от нуля всюду на интервале (а; Ь)\ это равносильно тому, что ср(*) и ф(д:) непропорциональны друг другу).
Для того, чтобы из семейства (2) выделить определенное частное решение, надо задать начальные условия Коши:
У U-JCt= #0» У' |х-=дг* = УQf
где X0 — какая-либо внутренняя точка интервала (а, Ь), а у0 и у’0 — заданные числа.
Однако часто для выделения определенного частного решения задают другие условия, отличные от начальных условий
106
Часть II
Коши. Важным типом таких условий являются так называемые краевые или граничные условия, заключающиеся в том, что на обоих концах интервала (а; Ь) задаются значения искомого решения или значения производной от искомого решения и т. д. Приведем примеры граничных условий:
1) у(а) = А, уф) = Bf где А и В — заданные числа*;
2)у'(а) = А, у (Ь) = В;
3) функция у — у(X) (искомое решение уравнения) ограничена при + 0 и при х-*Ь — 0.
Заметим, что наряду с этими условиями могут быть заданы и различные их комбинации. Например, можно потребовать, чтобы функция у(х) была ограничена при х-*Ь — 0, а значение этой функции при х = а равнялось А.
Задача нахождения того решения, которое удовлетворяет заданным краевым условиям, называется краевой (или граничной) задачей.
Далеко не при всяких граничных условиях существует решение уравнения, удовлетворяющее этим условиям. Так, например, не существует решения уравнения у" + у = 0, удовлетворяющего граничным условиям: у(0) =0, у(2т:) = 7. В самом деле, общее решение этого уравнения имеет вид:
у = C1Cos x-j-C2 sin х.
Для того чтобы удовлетворялись заданные граничные условия, надо, чтобы одновременно выполнялись два равенства:
C1 cos 0 + C2 sin 0 = О,
C1 cos 2тг + C2 sin 2тс = 7,
противоречащие друг другу (первое выполняется только при C1 = O, а второе — при C1 = 7). Следовательно, нет решения, удовлетворяющего этим краевым условиям.
С другой стороны, может оказаться, что данным краевым условиям удовлетворяет бесконечное множество решений; так, например, краевым условиям у{0) = 0, у(п) = 0 удовлетворяют все решения уравнения у" + у = 0, имеющие вид: у = Csinx.
Среди большого разнообразия краевых условий особо выделяют так называемые однородные краевые условия.
* Если функция f(x) определена на интервале (а; Ь) и имеет конечный предел А при ж-*-а + 0, то мы это будем записывать так:/(a) = A. Поэтому, когда мы пишем равенства у(а) = А, у'(а) = А, мы подразумеваем, что Iim «/(*) = А, или Iim у'(х) = А.
лг-*а+0 Х-.О+0
Аналогичный смысл имеют записи: f(b) = В, у(Ь) = В, у'(Ь) = В.
Указанного здесь соглашения мы будем придерживаться на протяжений всей книги.
107
Краевые условия называются однородными, если из того,
что некоторые функции <р2(*)....cpn(jc) удовлетворяют этим
условиям, следует, что любая линейная комбинация этих функций C1 Cp1C*) + ... Hr С„ц>„(х)[С1,...,Сп — постоянные) также удовлетворяет этим условиям. Приведем наиболее важные типы однородных краевых условий: