Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
і
J Ух і*) У» і*) dx = 0,
и т. д.
Будем считать, что п — заданное целое положительное число, и докажем, что все числа вида X = m(m+1) (где т = л, л+1, п.+ 2,....) являются собственными числами. Для этого перепишем уравнение (1), подставив X = m(m+ 1):
</" (I-х‘)-2ху’ + у Г т(т +1)-^1 = 0, (3)
и сделаем в нем замену переменной:
п
JZ = O-**)2 г-
Найдя из этого равенства у' и у" и подставив в (3), после преобразований получим:
z" (I — JC2)-2(л + l)xz' +[m(m+ 1) — л(л + l)]z = 0. (4)
Этому уравнению удовлетворяет, в частности, функция [Pm (jc)]<n>
144
Часть II
т е. п-ая производная полинома Лежандр а). В этом можно убедиться следующим образом: функция Pm (х) удовлетворяет уравнению
у"(\ — X2) — 2 ху' m (т\)у = 0.
Следовательно, имеет место тождество:
(1— х1) — 2х[Рт(х)]' + т(т+ \)Рт(х) = 0.
Продифференцировав это тождество п раз и пользуясь при этом формулой Лейбница (см. выше, стр. 137), получим
іРга(*)1<" + 2Чі-*,) + л[Рга(*)1<', + ',(-2*)+
+ IPm(X) У'(-2) + IPra(Ar)I*'"'-" (-2*) +
+ л [Pm(*)]‘"’ (— 2) + m(m-f 1)[ Pm(JC)I1"1 = 0.
После очевидных преобразований это тождество приведется к следующему виду:
(I-JCt)IlPra(X)I*"' |" — 2(я + 1)| [Pra(X)I*"')' * +
+ [m(m+ l)-n(n+ 1)1 IPra(JC)]*"1 =0.
Ho последнее тождество представляет собой результат подстановки функции [Рт(х) 1(п) в уравнение (4). Следовательно, функция
*=I р„ WI*"*
является решением уравнения (4).
Возвращаясь к уравнению (3) (и вспоминая, что
п
у Z= (1 — Xа)2 - г), получим следующее решение уравнения (3), ограниченное на интервале (—1; 1):
JL (5)
JZ = (I-JC1)2IPra(Ar)I'"1-
Функция (5) дает нетривиальное, ограниченное на (—I; 1) решение уравнения (1) при Х = т(/л-f 1), где т> п (легко видеть, что при т<п решение (5) является тождествен ным нулем).
145
Функции (5) называются присоединенными функциями Лежандра', мы их будем обозначать * Pm (х):
п
K(X) = I Pm(X) f' (6)
(здесь п > О фиксировано; т> п).
Итак, задача разыскания ограниченного на (—I; I) решения уравнения (1) имеет следующие собственные числа:
п(п+ 1); (я + 1)(л + 2); (п + 2)(п + 3);.... (7)
и соответствующие им собственные функции:
Pnn(X)', Pnn +1 (JC); Р% + 2(ху,--- (8)
Можно доказать, что никаких собственных чисел, кроме тех, которые перечислены в последовательности (7), данная задача не имеет.
Из общей теории (см. §3) следует, что каждому собственному числу соответствует только одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция; таким образом, функции, входящие в последовательность (8), исчерпывают все собственные решения.
Два собственных решения уравнения (I), соответствующие двум различным собственным числам, ортогональны друг другу (с весом 1) на интервале (—1; + 1). Поэтому справедливы следующие равенства:
і
Г K(x)-Pi(x)dx^0,
-1
где
тфИ, т> п, k> п.
Эти равенства можно переписать так: і
J I Pm W Г I Pt Wl<Л> ( 1 - *•)" dx — О,
-1
где тФ k, т> п, k> п.
‘Индекс вверху мы пишем без скобок, чтобы не смешивать с обозначением производной. Заметим, что в литературе существуют и другие обозначения для присоединенных функций Лежандра; так, например, иногда функция Я” (х) обозначается так: Р\(х) (см., например, Тихонов и Самарский, «Уравнения математической физики», стр. 630). Такая символика для обозначения присоединенной функции неудобна (символ (х) напоминает
символ производной). Поэтому мы будем всюду в дальнейшем придерживаться принятых нами обозначений.
В случае, если k = т, эти интегралы уже не равны нулю. Можно доказать (тем же путем, как это было сделано для полиномов Лежандра), что при любом т, т>п справедливо равенство:
f [ Р" (X)]'dx = - ___
J ^ L m J (2m+I) (m —n)l ’
или, что то же самое,
Выпишем несколько первых присоединенных функций Лежандра P1m (я) порядка п = 1:
і і
/>!(*) = (I-**)2 -IPiWr=(I-Jca)2 ;
I 1
Pj(X)=(I-Xa) 2 • [ Pz(X)Y = 0 — Xі) • Зх;
Pl(X) = (I-Xi)2 .[P9(X)Y = ( I-Xi)2 . (-у-ха —~2 ), и т. д.
Несколько первй?г Присоединенных функций Pm (х) порядка п = 2:
P22 (X) = (1 - х>) [P2 (Х)Г = (1 - Xі). 3;
Pl(X) = (1 — Я8)[ PsWf = (1 —-Vа) • 15*;
P2(X) = (1 — х8)[P4(x)f = (I-^a)(“1П*а------и Т-А-
§ 8. Краевые задачи, приводящие к тригонометрическим функциям
I. В § 3 мы рассмотрели задачу: найти собственные числа и
собственные функции уравнения у" + X у = 0 при краевых условиях
у (O) = O, у(1)~ 0. Тогда было выяснено, что единственными
собственными числами этой задачи являются:
TC8 , 22 TC* , fea TC*
• «1 _____
им соответствуют следующие собственные функции:
: ПХ . 2 Tt * . knx
t/A = sin —j— ; уг = sin —j—\...; yk = sin ——
2. Рассмотрим теперь то же уравнение, но с другими краевыми условиями: у" + X у = 0, г/' (0) = 0, |/' (/) = 0. Согласно общей теории, Хне может быть отрицательным. Поэтому ограничимся изучением двух случаев: а) X = 0; б) X > 0.
а) Если X = 0, то общее решение уравнения имеет вид:
у = C1 х -H C2.
Так как по условию U — о=0, y' = 0, то C1 = 0. Однако наши краевые условия не накладывают никаких ограничений на Ca. Поэтому любая функция у = Ca (в частности, у ^ 1) является решением нашей задачи при X==O. Итак, X = O является собственным числом, а функция у == 1 — соответствующей собственной функцией.