Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 42

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 110 >> Следующая


і

J Ух і*) У» і*) dx = 0,

и т. д.

Будем считать, что п — заданное целое положительное число, и докажем, что все числа вида X = m(m+1) (где т = л, л+1, п.+ 2,....) являются собственными числами. Для этого перепишем уравнение (1), подставив X = m(m+ 1):

</" (I-х‘)-2ху’ + у Г т(т +1)-^1 = 0, (3)

и сделаем в нем замену переменной:

п

JZ = O-**)2 г-

Найдя из этого равенства у' и у" и подставив в (3), после преобразований получим:

z" (I — JC2)-2(л + l)xz' +[m(m+ 1) — л(л + l)]z = 0. (4)

Этому уравнению удовлетворяет, в частности, функция [Pm (jc)]<n>
144

Часть II

т е. п-ая производная полинома Лежандр а). В этом можно убедиться следующим образом: функция Pm (х) удовлетворяет уравнению

у"(\ — X2) — 2 ху' m (т\)у = 0.

Следовательно, имеет место тождество:

(1— х1) — 2х[Рт(х)]' + т(т+ \)Рт(х) = 0.

Продифференцировав это тождество п раз и пользуясь при этом формулой Лейбница (см. выше, стр. 137), получим

іРга(*)1<" + 2Чі-*,) + л[Рга(*)1<', + ',(-2*)+

+ IPm(X) У'(-2) + IPra(Ar)I*'"'-" (-2*) +

+ л [Pm(*)]‘"’ (— 2) + m(m-f 1)[ Pm(JC)I1"1 = 0.

После очевидных преобразований это тождество приведется к следующему виду:

(I-JCt)IlPra(X)I*"' |" — 2(я + 1)| [Pra(X)I*"')' * +

+ [m(m+ l)-n(n+ 1)1 IPra(JC)]*"1 =0.

Ho последнее тождество представляет собой результат подстановки функции [Рт(х) 1(п) в уравнение (4). Следовательно, функция

*=I р„ WI*"*

является решением уравнения (4).

Возвращаясь к уравнению (3) (и вспоминая, что

п

у Z= (1 — Xа)2 - г), получим следующее решение уравнения (3), ограниченное на интервале (—1; 1):

JL (5)

JZ = (I-JC1)2IPra(Ar)I'"1-

Функция (5) дает нетривиальное, ограниченное на (—I; 1) решение уравнения (1) при Х = т(/л-f 1), где т> п (легко видеть, что при т<п решение (5) является тождествен ным нулем).
145

Функции (5) называются присоединенными функциями Лежандра', мы их будем обозначать * Pm (х):

п

K(X) = I Pm(X) f' (6)

(здесь п > О фиксировано; т> п).

Итак, задача разыскания ограниченного на (—I; I) решения уравнения (1) имеет следующие собственные числа:

п(п+ 1); (я + 1)(л + 2); (п + 2)(п + 3);.... (7)

и соответствующие им собственные функции:

Pnn(X)', Pnn +1 (JC); Р% + 2(ху,--- (8)

Можно доказать, что никаких собственных чисел, кроме тех, которые перечислены в последовательности (7), данная задача не имеет.

Из общей теории (см. §3) следует, что каждому собственному числу соответствует только одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция; таким образом, функции, входящие в последовательность (8), исчерпывают все собственные решения.

Два собственных решения уравнения (I), соответствующие двум различным собственным числам, ортогональны друг другу (с весом 1) на интервале (—1; + 1). Поэтому справедливы следующие равенства:

і

Г K(x)-Pi(x)dx^0,

-1

где

тфИ, т> п, k> п.

Эти равенства можно переписать так: і

J I Pm W Г I Pt Wl<Л> ( 1 - *•)" dx — О,

-1

где тФ k, т> п, k> п.

‘Индекс вверху мы пишем без скобок, чтобы не смешивать с обозначением производной. Заметим, что в литературе существуют и другие обозначения для присоединенных функций Лежандра; так, например, иногда функция Я” (х) обозначается так: Р\(х) (см., например, Тихонов и Самарский, «Уравнения математической физики», стр. 630). Такая символика для обозначения присоединенной функции неудобна (символ (х) напоминает

символ производной). Поэтому мы будем всюду в дальнейшем придерживаться принятых нами обозначений.
В случае, если k = т, эти интегралы уже не равны нулю. Можно доказать (тем же путем, как это было сделано для полиномов Лежандра), что при любом т, т>п справедливо равенство:

f [ Р" (X)]'dx = - ___

J ^ L m J (2m+I) (m —n)l ’

или, что то же самое,

Выпишем несколько первых присоединенных функций Лежандра P1m (я) порядка п = 1:

і і

/>!(*) = (I-**)2 -IPiWr=(I-Jca)2 ;

I 1

Pj(X)=(I-Xa) 2 • [ Pz(X)Y = 0 — Xі) • Зх;

Pl(X) = (I-Xi)2 .[P9(X)Y = ( I-Xi)2 . (-у-ха —~2 ), и т. д.

Несколько первй?г Присоединенных функций Pm (х) порядка п = 2:

P22 (X) = (1 - х>) [P2 (Х)Г = (1 - Xі). 3;

Pl(X) = (1 — Я8)[ PsWf = (1 —-Vа) • 15*;

P2(X) = (1 — х8)[P4(x)f = (I-^a)(“1П*а------и Т-А-

§ 8. Краевые задачи, приводящие к тригонометрическим функциям

I. В § 3 мы рассмотрели задачу: найти собственные числа и

собственные функции уравнения у" + X у = 0 при краевых условиях

у (O) = O, у(1)~ 0. Тогда было выяснено, что единственными

собственными числами этой задачи являются:

TC8 , 22 TC* , fea TC*

• «1 _____
им соответствуют следующие собственные функции:

: ПХ . 2 Tt * . knx

t/A = sin —j— ; уг = sin —j—\...; yk = sin ——

2. Рассмотрим теперь то же уравнение, но с другими краевыми условиями: у" + X у = 0, г/' (0) = 0, |/' (/) = 0. Согласно общей теории, Хне может быть отрицательным. Поэтому ограничимся изучением двух случаев: а) X = 0; б) X > 0.

а) Если X = 0, то общее решение уравнения имеет вид:

у = C1 х -H C2.

Так как по условию U — о=0, y' = 0, то C1 = 0. Однако наши краевые условия не накладывают никаких ограничений на Ca. Поэтому любая функция у = Ca (в частности, у ^ 1) является решением нашей задачи при X==O. Итак, X = O является собственным числом, а функция у == 1 — соответствующей собственной функцией.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed