Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
grad uv = и • grad v + v • grad и.
б) Пусть и — скалярное поле, А — векторное. Тогда произведение и-А является векторным полем. Можно говорить о дивергенции и о роторе этого поля. Имеют место следующие формулы:
div и- А = (grad W- A) + w*div>l;
rotUmA= [gradи- А] + и-тоїА.
Эти формулы можно проверить, предварительно представив А в виде: А — Pi -f- Qj + Rk.
в) Пусть Л и В — векторные поля. Тогда их произведение можно образовать двояко: взяв скалярное произведение, мы получим скалярное поле (АВ)\ взяв векторное произведение, получим векторное роле [Л-jB]. Таким образом, можно говорить о следующих дифференциальных операциях над произведением двух векторных полей:
grad [А В), rot [5 A], div [А 5].
Первые две из этих операций не могут быть выражены через дифференциальные операции над каждым полем в отдельности (т. е. для них не существует формулы, аналогичной формуле для ^производной от произведения). Что же касается операции div [АВ], то для нее имеет место формула
div [А В] = (B-ToiA)-(A-TotB), которая может быть легко проверена читателем.
§ 14. Безвихревое поле
Векторное поле, ротор которого тождественно равен нулю, называется безвихревым.
Прежде чем сформулировать условия, необходимые и достаточные для того, чтобы поле было безвихревым, дадим одно определение.
62
Часть f
Область V называется односвязной, если на любой замкнутый контур, расположенный в области V, можно натянуть поверхность о, целиком лежащую в области V.
Примеры. Все пространство, внутренность шара, шар с добавленными точками границы, все пространство, из которого выколота одна точка, — являются односвязными областями.
бому замкнутому контуру I, лежащему в V. Докажем, что
rot А = 0 в любой точке области V.
Допустим противное. Предположим, что нашлась точка Mor
в которой rot Л отличен от нуля. Обозначим модуль ротора в> этой точке через а; так как ротор в этой точке не равен нулю, то а > 0.
Проведем плоскость P через точку M0 перпендикулярно к вектору (rot ~А)Мй (рис. 31). Обозначим через п нормаль к плоскости P1 а через rot— Л — проекцию ротора на эту нормаль: rot—Л— скалярная функция, определенная в точке M0 и в ее окрестности; очевидно, что в самой точке M0 имеет место равенство:
Если считать rot Л непрерывной векторной функцией*, то и rot- Л — непрерывная функция. Поэтому около точки M0 мож-
* А это так, если A=P і+ Qj+Rk, где Р, Q, R имеют непрерывные частные производные 1-го порядка.
(в , Г і v/Л^і ло«1лчгХСл nCU^nUvD/ldiiUll UUviuvX DiU»
<fot н* M0 Также неодносвязной областью являет-ся внутренность тора («бублик»).
Пространство, из которого исключены все точки, лежащие на некоторой прямой (например, исключена ось Oz), является неодносвязной областью.
Докажем следующую теорему.
P
Теорема 1. Для того чтобы поле, заданное в односвязной области V, было безвихревым, необходимо и дос-' таточно, чтобы циркуляция по любому контуру, лежащему в этой областиt равнялась нулю.
Доказательство. Достато-
Рис. 31
чность. Пусть
(roVj4)M. = I rot^ 1м, = а.
знэниебезфаниц \
'4-м ____________________________¦ ¦ 63
но описать такую окрестность о (на плоскости Р), что всюду в этой окрестности значения функции Tot-A отличаются от значения этой же функции в точке M0 менее чем на ; но тогда
всюду в этой окрестности будет rot—
Пусть / — контур этой окрестности. Применим к циркуляции вектора по этому контуру теорему Стокса (в векторной фор-we):
§ Ad 7 = Jj rot- A da > -J--O > O1
I a
где а — область, ограниченная контуром /.
Таким образом, предположив, что rot Аф 0 хотя бы в одной точке, мы пришли к противоречию (нашелся контур /, циркуляция по которому отлична от нуля, что противоречит условию}^
Итак, если ^Adl =0 по любому контуру I, то rot Л = О всюду в области V.
V-; Необходимость. Пусть irot A = 0 всюду в области V.
Рассмотрим'произвольный замкнутый контур L1 лежащий в области V, и докажем, что
= 0.
JL
Для этого натянем на L поверхность S; в силу односвязности области V, это можно сделать так, чтобы поверхность 5 целиком принадлежала области V.
Применим теорему Стокса в векторной форме:
\АМ = JJrot-IdS = O;
последнее равенство основано на том, что по условию rot А=0,
а следовательно, и проекция ротора на п тождественно равна нулю. ' ‘
Итак, если rot Л = 0, то ^Adl= 0 для любого замкнутого контура L. Теорема доказана.
Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. До сих пор мы рассматривали интеграл JЛ d/только
64
Часть I
по замкнутым контурам L. Откажемся от этого ограничения и изучим некоторые вопросы, связанные с интегралами по произвольному (не обязательно замкнутому) пути интегрирования^ Пусть задано векторное поле А. Будем говорить, что ^Adl
L
не зависит от пути интегрирования, если, каковы бы ни были две точки M1 и M2 (расположенные в поле), величина интеграла по дуге WM1 M2 не зависит от вида этой дуги (но, конечно, зависит от точек M1 и M2).
Выясним необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла Г Adl от пути интегрирования.
