Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Так как среди координатных поверхностей имеются сферы, то эту систему координат называют сферической.
Координатные линии здесь таковы: р-линия — луч, выходящий из начала координат, 0-линия — полуокружность с центром
78
Часть I
в начале координат, соединяющая две точки на оси Oz; у -линия — окружность, лежащая в горизонтальной плоскости, с центром на оси Oz.
Во всех рассмотренных выше примерах координатные линии, проходящие через какую-либо точку, ортогональны друг другу. Это бывает далеко не во всякой системе координат. Однако мы ограничимся изучением только таких систем координат,
для которых это имеет место; такие системы координат называются ортогональными.
Система координат (qlt q2, qa) называется ортогональной, если в каждой точке M координатные линии, проходящие через эту точку, пересекаются под прямым углом.
Рассмотрим теперь какую-нибудь точку M и проведем единичные векторы Єї, е2 и е8, касающиеся в этой точке соответствующих координатных линий и направленные в сторону возрастания соответствующей координаты. Если эти векторы в каждой точке образуют правую тройку, то мы говорим, что нам задана правая система координат. Так, например, декарто-
Ч\а1аНаш7М
інаниеСезераниц
§іб 79
ва система координат х, у, г (при обычном расположении осей) является правой (см. рис. 41, а). Также являются правыми цилиндрическая система координат г, 9, г (но именно при атом порядке координат; если изменить порядок следования координат, взяв, например, г, г, 9, мы уж? не получим правой системы); (см. рис. 41, б).
Сферическая система координат также является правой (если установить такой порядок следования координат: р, 0, 9); см. рис. 41, в.
Заметим, что в декартовой системе координат направление вектора ех не зависит от того, в какой точке M мы проводим этот вектор; то же самое справедливо и относительно [векторов еу и е9*. Иное мы наблюдаем в криволинейных системах координат: так, например, в цилиндрической системе координат векторы е9 в точке M и в какой-либо другой точке M1 уже вовсе не обязаны быть параллельными друг другу. То же относится и
* Обычно тройку ортогональных единичных векторов в декартовой системе координат ёх, еу, ег обозначают через І, 7. Л. Этими обозначениями мы уже пользовались неоднократно.
80
Часть I
к вектору ег (в разных точках он имеет, вообще говоря, разные направления).
Таким образом, тройка единичных ортогональных векторов ех, е2, е3 в криволинейной системе координат зависит от положения точки М, в которой эти векторы рассматриваются. Тройка единичных ортогональных векторов elt е2, е3 называется подвижным репером, а сами эти векторы — единичными ортами (или просто ортами).
Коэффициенты «Паме. Рассмотрим точку M с координатами Яч Я2> Яз и соседнюю с ней точку МЛЯуЛ- ^Я\, Яг> Яз)- Обе эти точки лежат на одной и той же координатной <7,-линии. Рассмотрим отношение длины дуги иШ, этой линии* к приращению координаты qv (т. е. к числу Lqi): • Если это от-
ношение имеет предел при Aql -+ 0, то этот предел называется коэффициентом Ламе для координаты qv в точке М; он обозначается через H1:
г, wMMi
H1 = Iim —т—і- ,
где M (<7„ q2, qa), M1 (^1 + Lqlt q2, q3). Ясно, что коэффициент Ламе, вообще говоря, зависит от положения точки М. Поэтому мы будем его обозначать иногда следующим образом:
Hі (Яі» Яг* Яз)-
Точно так же определяется в точке M коэффициент Ламе для 2-й координаты:
H0 — Iim
Afll * 0
куММъ
2 ...... Д<7а
где M(qlt q2t q3), M2(qit q2 + Aq2,q3) и дуга MM2 берется вдоль координатной линии q2.
Аналогично этому коэффициент Ламе определяется и для третьей координаты:
Н, = Iim .
AflI-O
* Координатная фі-линия является направленной кривой (направление на этой линии выбирается в сторону возрастания координаты ^1). Поэтому, в соответствии с соглашением, принятым ранее (см. стр. 9), будем считать дугу wMMj положительной, если точка Mi следует за точкой M (т. е. если Д</1 > 0), или отрицательной, если точка Mi предшествует точке M (т. е. если Agi < 0).
Аналогичное замечание о знаке дуги имеет место и для дуг, лежащих на координатных ^-линиях и 93-линиях.
SataiiaustMl
§ /б
81
Зная коэффициенты Ламе, можно приближенно подсчитать длины дуг координатный линий при небольших приращениях координат. Действительно, если Aft, Дq2, Дq8 малы, то из определения коэффициентов Ламе вытекают следующие приближенные равенства:
MMlt и KJ мма. н MM3
WlT_ Ал ; 2" ; 3~ Д<7з ’
і
откуда
W MM1 ssi /Z1-Aql; ^yMM2 H2-Aq2; MM3 H8-Aq8, (1)
где значения коэффициентов Ламе H1, H2, Hs берутся в точке М.
Быясним, чему равны коэффициенты Ламе в различных конкретных системах координат.
1. В декартовой системе координат все коэффициенты Ламе (Нх, Hy, Hz) в любой точке равны единице. Действительно, если, например, придать х приращение Ах, то величина направленного отрезка координатной линии, заключенного между точками M (х, у, г) и M1 (х + Ах, у, г), равна Д*. Поэтому
Hx = Iim = Iim — 1. Аналогично находим Hv и H2.
