Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 20

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 110 >> Следующая


L

Теорема 2. Пусть векторное поле А задано области. Для того чтобы

в односвязной

интеграл J Adl не зависел от пути

L _

было

интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы поле А безвихревым. _ '

Доказательство. Достаточность. Пусть rot А == 0. Тогда Г Adl-O для любого замкнутого контура (см. теорему 1).

Возьмем две произвольные точки M1 и M2 и проведем две дуги M1PM2 и M1QM2 (рис. 32). Если обозначить через L весь замкнутый контур M1QM2PM1, то получим

Mj.

Рис. 32

Ho

j Adl

M2PMi

' ^Adl = 0;

L

j AdT+ j Adl

M1QM2 MtPM1

— j Adi.

M1PM2

:0.

О)

Поэтому равенство (1) можно переписать так:

J Adl

M1QM2

Adl = 0,

M1PM2

или

j Adl= J Adl

M1QM2 M1PMz
65

Таким образом, доказана независимость интеграла от пути.

Необходимость. Пусть интеграл ^AdT не зависит'от пути.

L

Тогда интеграл по любому замкнутому контуру С равен нулю; это легко проверить, если взять на контуре С какие-либо две

точки M1 и M2 (рис. 33); по условию, J AdT = J Adl , оТ-

MtAM9 MtBM2

куда следует, что§Adl —0. Ho если интеграл

с

по любому замкнутому контуру равен нулю,

то rot Л —0 (см. теорему 1).

Итак, теорема 2 доказана полностью.

Пример 1. Поле Л = (3x2y2z + Зх2) і +

+ 2x3yz/+(*У + Szik,

определенное во всех точках пространства Oxyz, является безвихревым (легко проверить, что rot Л == 0). Следовательно, Adl = 0 по любому замкнутому контуру L. Если же вычис-

!

лять этот интеграл по незамкнутым контурам, то он, вообще говоря, не равен нулю, но от вида пути интегрирования не зависит (а зависит только от начальной и конечной точек этого пути).

Пример 2. Поле сил тяготения, порожденное точечной притягивающей массой, помещенной, например,.в начале координат,

г % І -4“ у j 4- z k

г = — Ym'

(^2+f/a+22)3/2

является безвихревым полем, что легко проверяется вычислением. Поэтому циркуляция этого поля по любому замкнутому контуру L равна нулю:

J AdT = 0.

L

Ho циркуляция силового поля по замкнутому контуру равна работе, совершаемой этим полем (при перемещении точки единичной массы по контуру /.); следовательно, работа силового поля тяготения по любому замкнутому контуру равна нулю.

Следует заметить, что это утверждение остается верным не только для поля тяготения, образованного притягивающей то-

3 Ю. С. Очан
66

Часть I

чечной массой, но и для любого поля тяготения в односвязной области V (даже если это поле порождено не точечной массой, а какой угодно притягивающей массой, расположенной вне области V).

§ 15. Потенциальное поле

Пусть векторное поле А является полем градиентов для некоторого скалярного поля <р:

A — grad 9.

Скалярное поле 9 называется потенциалом векторного поля А.

Возникает вопрос: всякое ли векторное поле А является полем градиентов некоторого скалярного поля? Иными словами, всякое ли векторное поле Л имеет потенциал? Как будет показано позднее, ответ на этот вопрос отрицателен. Если векторное поле А имеет потенциал, то оно называется потенциальным. Докажем теорему, дающую условия потенциальности векторного поля A =Pi +Q I-\-Rk (где Р, Q, R— непрерывные функции с непрерывными частными производными первого порядка).

Теорема 1. Для того, чтобы поле А было потенциальным, 1 необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

Доказательство. Необходимость. Пусть А = grad 9 =

Непосредственно вычисляя rot Л и учитывая

при этом известную из анализа теорему о равенстве смешанных

производных И т. д.у. поЛучим:

rnt А = (*S- - -? I 4- {-&-___________________7+ /-?- - A= 0.

TOt А \dzdy дудг J ' [дхдг dzdx \дудх . dxdy.j

Итак, если Л = grad 9, то rot Л = 0; иными словами rot grad 9=0, Достаточность. Пусть rot А= 0. Тогда jAdf не зависит

L

от пути интегрирования L. Закрепим начало дуги L (в качест-

* По условию, все составляющие вектора А имеют непрерывные част-

ныё производные; следовательно., все смешанные производные ^xQy', QyQx “ит. д. непрерывны.
^Salatiaus

знаниеБезгрвниц

. . ¦ .. -.....л . -..... 67

ве начала этой дуги примем какую-либо фиксированную точку M0(X0, yQ, Z0), лежащую в данном поле, например, начало координат). Тогда интеграл ^Adl будег зависеть только от второго

L

конца дуги L\ пусть этот второй ісонец дуги находится в точке М(Х, Yt Tf . Запишем интеграл следующим образом:.

X. YtZ

f AdT= J Pdx -\-Qdy -\-Rdz.

Обозначим величину этого интеграла через <р(Х, Yt Z):

XtYtZ

<?(X,Y,Z)= j Pdx + Qdy + Rdz,

^Of У О » Z0

и докажем, что grad 9 = А.

Для этого вычислим сначала :

it - пт у(хч-л,у.г)-у(Х,у^а) _

dX-gS h

X+h,YtZ X, YtZ

J Pdx -f Qdy ^ Rdz^- J Pdx -f Qdy -f- Rdz

__ IjfTl *0* ^ot

_ Iim - ¦ Г-—— ~ :

Так как эти интегралы не зависят от пути, то в первом из J Ib качестве пути можно ,взять. , путь интегрирова-

ния второго интеграла с добавлением ^прямолинейного отрезка,

соединяющего точки M (X, YtZ) и Mi (X -f h, Yt Z) (рис. 34). Поэтому I * . і

XtYtZ Х+h, Yt Z X, Yt Z
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed