Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
L
Теорема 2. Пусть векторное поле А задано области. Для того чтобы
в односвязной
интеграл J Adl не зависел от пути
L _
было
интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы поле А безвихревым. _ '
Доказательство. Достаточность. Пусть rot А == 0. Тогда Г Adl-O для любого замкнутого контура (см. теорему 1).
Возьмем две произвольные точки M1 и M2 и проведем две дуги M1PM2 и M1QM2 (рис. 32). Если обозначить через L весь замкнутый контур M1QM2PM1, то получим
Mj.
Рис. 32
Ho
j Adl
M2PMi
' ^Adl = 0;
L
j AdT+ j Adl
M1QM2 MtPM1
— j Adi.
M1PM2
:0.
О)
Поэтому равенство (1) можно переписать так:
J Adl
M1QM2
Adl = 0,
M1PM2
или
j Adl= J Adl
M1QM2 M1PMz
65
Таким образом, доказана независимость интеграла от пути.
Необходимость. Пусть интеграл ^AdT не зависит'от пути.
L
Тогда интеграл по любому замкнутому контуру С равен нулю; это легко проверить, если взять на контуре С какие-либо две
точки M1 и M2 (рис. 33); по условию, J AdT = J Adl , оТ-
MtAM9 MtBM2
куда следует, что§Adl —0. Ho если интеграл
с
по любому замкнутому контуру равен нулю,
то rot Л —0 (см. теорему 1).
Итак, теорема 2 доказана полностью.
Пример 1. Поле Л = (3x2y2z + Зх2) і +
+ 2x3yz/+(*У + Szik,
определенное во всех точках пространства Oxyz, является безвихревым (легко проверить, что rot Л == 0). Следовательно, Adl = 0 по любому замкнутому контуру L. Если же вычис-
!
лять этот интеграл по незамкнутым контурам, то он, вообще говоря, не равен нулю, но от вида пути интегрирования не зависит (а зависит только от начальной и конечной точек этого пути).
Пример 2. Поле сил тяготения, порожденное точечной притягивающей массой, помещенной, например,.в начале координат,
г % І -4“ у j 4- z k
г = — Ym'
(^2+f/a+22)3/2
является безвихревым полем, что легко проверяется вычислением. Поэтому циркуляция этого поля по любому замкнутому контуру L равна нулю:
J AdT = 0.
L
Ho циркуляция силового поля по замкнутому контуру равна работе, совершаемой этим полем (при перемещении точки единичной массы по контуру /.); следовательно, работа силового поля тяготения по любому замкнутому контуру равна нулю.
Следует заметить, что это утверждение остается верным не только для поля тяготения, образованного притягивающей то-
3 Ю. С. Очан
66
Часть I
чечной массой, но и для любого поля тяготения в односвязной области V (даже если это поле порождено не точечной массой, а какой угодно притягивающей массой, расположенной вне области V).
§ 15. Потенциальное поле
Пусть векторное поле А является полем градиентов для некоторого скалярного поля <р:
A — grad 9.
Скалярное поле 9 называется потенциалом векторного поля А.
Возникает вопрос: всякое ли векторное поле А является полем градиентов некоторого скалярного поля? Иными словами, всякое ли векторное поле Л имеет потенциал? Как будет показано позднее, ответ на этот вопрос отрицателен. Если векторное поле А имеет потенциал, то оно называется потенциальным. Докажем теорему, дающую условия потенциальности векторного поля A =Pi +Q I-\-Rk (где Р, Q, R— непрерывные функции с непрерывными частными производными первого порядка).
Теорема 1. Для того, чтобы поле А было потенциальным, 1 необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.
Доказательство. Необходимость. Пусть А = grad 9 =
Непосредственно вычисляя rot Л и учитывая
при этом известную из анализа теорему о равенстве смешанных
производных И т. д.у. поЛучим:
rnt А = (*S- - -? I 4- {-&-___________________7+ /-?- - A= 0.
TOt А \dzdy дудг J ' [дхдг dzdx \дудх . dxdy.j
Итак, если Л = grad 9, то rot Л = 0; иными словами rot grad 9=0, Достаточность. Пусть rot А= 0. Тогда jAdf не зависит
L
от пути интегрирования L. Закрепим начало дуги L (в качест-
* По условию, все составляющие вектора А имеют непрерывные част-
ныё производные; следовательно., все смешанные производные ^xQy', QyQx “ит. д. непрерывны.
^Salatiaus
знаниеБезгрвниц
. . ¦ .. -.....л . -..... 67
ве начала этой дуги примем какую-либо фиксированную точку M0(X0, yQ, Z0), лежащую в данном поле, например, начало координат). Тогда интеграл ^Adl будег зависеть только от второго
L
конца дуги L\ пусть этот второй ісонец дуги находится в точке М(Х, Yt Tf . Запишем интеграл следующим образом:.
X. YtZ
f AdT= J Pdx -\-Qdy -\-Rdz.
Обозначим величину этого интеграла через <р(Х, Yt Z):
XtYtZ
<?(X,Y,Z)= j Pdx + Qdy + Rdz,
^Of У О » Z0
и докажем, что grad 9 = А.
Для этого вычислим сначала :
it - пт у(хч-л,у.г)-у(Х,у^а) _
dX-gS h
X+h,YtZ X, YtZ
J Pdx -f Qdy ^ Rdz^- J Pdx -f Qdy -f- Rdz
__ IjfTl *0* ^ot
_ Iim - ¦ Г-—— ~ :
Так как эти интегралы не зависят от пути, то в первом из J Ib качестве пути можно ,взять. , путь интегрирова-
ния второго интеграла с добавлением ^прямолинейного отрезка,
соединяющего точки M (X, YtZ) и Mi (X -f h, Yt Z) (рис. 34). Поэтому I * . і
XtYtZ Х+h, Yt Z X, Yt Z