Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Lx-Q ^x Д*-0
Итак, Hx = I; Hy = I; Hz = 1. (2)
2. В цилиндрической системе координат коэффициенты Ламе таковы:
Hr= I ; H9 = г; Hz = 1. (3)
Убедимся в этом, например, для Hr (рис. 42) *:
= = Ii Лг_ = ,
' Дг-*0 ЛГ Дг-0
Аналогично для H9 :
H9 = Hm = Iim = г.
9 Aif-. О Лір-О Д<Р
Таким же путем убеждаемся, что Hz= 1.
* Для определенности на рисунках 42 и 43 мы придаем координатам положительные приращения; однако ясно, что это не ограничивает общности: изменив знак, например, у Ar, мы изменим знак и у ^ММь но в таком случае wMMi
знак отношения —г-— не изменится.
82
Часть I
3. В сферической системе координат коэффициенты Ламе таковы:
H9 = 1; Ян = р; H9 = р sin6. (4)
'.J MM
Действительно, H9 = Iim—д—но = psin 0А<р
Дф-*0 9
(рис. 43). Поэтому
и р sin в-Д© . ~
Hv = Iim -—т—1 = psin 6.
9 Дф-»0 Д<Р
Далее
= Iim wMM і Др = Iim
Др~»0 Др-»0
= Iim = Iim
де
ДЄ-0 Д0-»О Z
Др
Др
.ДА
Ж
1,
Рис. 42
Рис. 43
§ 17. Скалярные и векторные поля в криволинейных координатах. Вычисление градиента с помощью криволинейных координат
Если в пространстве задана система координат ^1, q2, qa, то всякое скалярное поле можно представить аналитически с помощью функции трех переменных
“= Кяі. Яг. Язі'
(1)
83
Для того чтобы представить аналитически векторное поле Л в том же пространстве, надо задать в каждой точке пространства проекции вектора А на единичные орты elt ег, ёа. Ho вектор ~А
зависит от положения точки M (qv q2, qa)\ следовательно, от ко-
ординат этой точки зависят и проекции вектора А\ иными словами, каждая из этих проекций является функцией от трех переменных qt, q2, qa:
проекция А на ех равна Ai (qit q2, qa);
проекция А на с% равна A2 (qlt q2,
проекция А на еа равна Aa (qlt qt,
Поэтому
А = A1 (qx, q2, qa) C1 + A2 (qlt q2, qa) ег + Aa (qlt q2, qa) ea. (2)
Следует заметить, что здесь не только числовые коэффициенты A1, A9, Aa зависят от положения переменной точки M (qv qit qa), но и направления ортов et, е2, еа зависят от точки М.
Градиент в криволинейных координатах. Пусть скалярное поле задано равенством (1). Поставим задачу о вычислении градиента этого поля в любой точке M(qlt qt, qa).
Прежде всего найдем проекцию градиента на вектор ех. Как известно, проекция градиента на какое-либо направление равна производной в этом направлении; поэтому
"P7i grad / - -g- .
С другой стороны, известно, что производная по направлению равна производной по любой дуге, касающейся этого направления; в частности, производная по направлению еу равна производной по дуге / координатной ^-линии (если направление на дуге выбрать в сторону возрастания координаты ^1); итак,
пр7. grad / = 4?- - df
' De1 ді
Ho производная по дуге, по определению, равна следующему пределу (рис. 44):
df _ lim /(MQ-Z(M)
* *3м •
вдоль/
g4 Часть I
откуда
df ___ i:m f (Яі 4~ . Яг¦ 9а) —1 / (<7i. Яг. <7а)
Я ^AfAfa
Умножая и деля последнюю дробь на и учитывая, что Iim w ^Му- = H1, получим
df __ /(ft +Afl. ft. ft) —/(ft, ft. Яз) . Aft _ J/_ J dl ья_,0 Aft ^MAl1 dft H)
q,-линия
Следовательно,
проекция gra d / на Ci равна -щ .
Аналогично:
j г I df
проекция grad / на с2 равна ,
it" I df
проекция grad / на са равна .
Итак,
, . I Df - . I Of - , I df - /Q4
grad f -= Нх dqi et + Яа д(]2 с2 -f- Яа ^ са. (3)
Если, в частности, поле задано в декартовой системе координат: и = f(x, у, z), то (так как Hx^Hy = Hz = 1)
grad и ----- 4'- T + -J-J + к. (За)
Если поле задано в цилиндрической системе координат:
и — f (г, ср, г), то, учитывая выведенные ранее значения коэффициентов Ламе Hn Hv , Hz, получим
grad и = -ff-e,+ -f -|?-*» +-§Г <3б)
іїаІаИашїШ
§ 18
85
Если же поле задано в сферической системе координат, то
. а/ - . і df - . і df - V erad + T SB Єи + 7??- ~щ;е* ¦ <3в)
Если нам надо вычислить производную скалярного поля u = f(qltq2, qs) в точке M в направлении некоторого вектора s = O1 et + O2C2 + O3C3, достаточно спроектировать градиент на направление s:
Читатель может самостоятельно выписать частные случаи этой формулы в конкретных системах криволинейных координат.
Замечание. Если дано скалярное поле и, то его аналитическая запись в различных системах координат будет различна; различными будут и аналитические записи для градиента. Однако все эти различные формулы для градиента задают одно и то же векторное поле: ведь grad и в каждой точке пространства определен однозначно и не зависит от способа аналитической записи исходного поля и. Это свойство градиента называют инвариантностью градиента относительно выбора системы координат.
§ 18. Интегральные и дифференциальные операции над векторным полем в криволинейных координатах
Пусть векторное поле А задано в криволинейных координатах:
A = A1 (qit q2t q3) Ci + A2 (qlt q2, qa) Ci + A3 (qlt q2, qa) C3. (I)
Над этим полем можно произвести дифференциальные операции— операции нахождения дивергенции и ротора — и интегральные операции — вычисление криволинейного интеграла (в частности, вычисление циркуляции), вычисление потока и нахождение потенциала поля (в случае, если rot А — 0).
