Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
плотность циркуляции в точке M0 в направлении п равна
(rot А-п0 ).
Итак, плотность циркуляции в точке M0 в направлении п
равна^ I rot А | cos (rot At л0),аэто—проекция ротора на направление п. Следовательно, плотность циркуляции в направлении п равна проекции ротора на это направление.
Отсюда ясно, что плотность циркуляции в точке M0 будет наибольшей в направлении ротора, и в этом случае она равна численному значению ротора. Таким образом, нами вскрыт смысл ротора: это — вектор, в направлении которого плотность циркуляции в данной точке является наибольшей. Численно ротор в данной точке равен наибольшей плотности циркуляции в этой точке.
Ротор поля А
-MlS--Sr+(?-¦?)/+(?-?)* «>
56
Часть I
имеет вполне определенное значение (по величине и по направлению) в каждой точке данного поля. Следовательно, сам ротор образует новое векторное поле.
Пример 1. Вычислить ротор векторного поля Ar заданного равенством
А = (х2 + у2)ї + (іу2 + Z2)/ + (Z2 + х2)Ъ.
Здесь
P = X2jr у2, Q == у% + Z2, R Z=Z2 -j- х2\ поэтому, по формуле (4), получаем:
rot А = (—2z) і + (— 2х) / + (— 2у) k.
В частности, в точке (0; 0; 1)
rot Л = — 2і.
Значит, в этой точке плотность циркуляции является наибольшей в направлении вектора — 2і (т. е. плотность является максимальной, если циркуляцию вычислять по контурам, лежащим в плоскости Oyz\ иными словами, если брать различные контуры, окружающие точку (0; 0; 1), то, при одинаковых размерах площадок, ограниченных этими контурами, циркуляция окажется наибольшей для контура, помещенного на плоскости Oyz).
Пример 2. Рассмотрим поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш0 вокруг оси Oz (см. пример 1 предыдущего параграфа). Как мы видели, это поле задается формулой
А=-^у1 + »Л Следовательно, в любой точке
rot А = («о+^о) k — — 2о>.
Итак, ротор скоростей вращающегося твердого тела направлен по вектору угловой скорости. Этого и следовало ожидать: в любой точке пространства циркуляция будет наибольшей по тем контурам, которые лежат в плоскости вращения (т/е. в плоскости, параллельной плоскости Оху).
Пример 3. Рассмотрим стационарное поле скоростей движущейся жидкости.
Движение частиц жидкости, расположенных внутри некоторого малого объема, за небольшой промежуток времени можно
ШЇаЙаті^
§ 12
57
рассматривать приближенно как вращение твердого тела с постоянной угловой скоростью. В самом деле, при вращении твердого тела с постоянной угловой скоростью выполняются следующие условия:
1) расстояние между двумя фиксированными точками не меняется с течением времени;
2) траектории всех точек — окружности;
3) движение по каждой такой траектории является равномерным.
При произвольном стационарном движении жидкости эти условия, вообще говоря, не выполняются. Однако за малый промежуток времени две близкие точки не смогут далеко отойти друг от друга: за малый промежуток времени расстояние между ними почти не изменится.
На небольшом участке пути траекторию любой частицы жидкости можно приближенно считать круговой.
За малый промежуток времени модуль скорости изменяется лишь незначительно; поэтому в течение этого промежутка времени можно считать скорость постоянной по модулю.
Учитывая все сказанное выше, мы можем приближенно считать движение жидкости в окрестности каждой ее частицы круговым движением твердого тела. Поэтому с каждой точкой той области, где происходит движение жидкости, можно связать определенный вектор, численно равный угловой скорости в данной точке и направленный по оси вращения; этот вектор называют вектором угловой скорости в данной точке.
Дадим точное определение вектора угловой скорости.
Вектором ш угловой скорости в точке M стационарного* поля скоростей V движущейся жидкости называется вектор, равный ~ rot v.
N - ї .-ш = — rot V.
\
Для частного случая, когда жидкость движется, как твердое тело, вращающееся с постоянной угловой скоростью, это определение совпадает с обычным определением угловой скорости вращающегося тела. Ho и для произвольного стационарного движения жидкости понятие угловой скорости в точке также имеет физический смысл: если в точку M поместить маленькую турбин-
* Можно говорить о векторе со угловой скорости и в том случае, когда движение жидкости является нестационарным; однако, в этом случае вектор
о зависит не только от положения точки M1 но и от момента времени. Вектор угловой скорости в точке M в момент времени t называется вектором мгновенной угловой скорости.
58
Часть /
ку *, ось которой направлена по вектору <а, то эта турбинка будет вращаться с угловой скоростью, численно равной о> (т. е. с
угловой скоростью, равной по модулю YI rot of). Если же эту турбинку поместить в той же точке М, но направить ось вдоль какого-либо другого вектора п, то она тоже будет вращаться, но с угловой скоростью, равной половине проекции ротора на п (т. е. с угловой скоростью, равной половине плотности циркуляции в точке M в направлении вектора п).
