Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
X, Y, z
<р (X, YtZj = j (З*2 + 2ху) dx -f (а:2 + 2у + z) dy + (у+Щ dz,
__ xOtVmzO
взяв в качестве точки (х0, у0, г0), например, начало координат, а в качестве пути интегрирования —: любую линию, соединяющую точки (0, 0, 0) и (X, Yt Z), например прямолинейный отрезок или ломаную, изображенную на рис. 35 (напомним, что этот интеграл не -зависит от пути интегрирования). Вычисляя интеграл, находим
<р(Х, Yt Z) = X3 + X2K + K2 + ZY + Z3.
Итак, потенциалом поля А является функция <р = хъ 4- +
+ У2 + zy 4- Z3t а также любая функция семейства
?'= X3 + х2у 4- уъ + zy 4- Z3 + С.
72
Часть /
Заметим, что для вычисления потенциала по его градиенту нет необходимости прибегать к криволинейному интегралу. Покажем это на нашем примере. __
Так как, для искомой функции 9, grad <р = A то
^ = Sx2 + 2ху\ = + 2у + г\ = у + 3z2. (2)
Проинтегрируем почленно по X первое из этих равенств:
9 = J (Зл;8 -f 2ху ) dx.
Это интегрирование мы должны провести по переменной х, считая у Yl г постоянными. Поэтому интеграл найдется с точностью до слагаемого, не зависящего от х; однако, это слагаемое—* постоянная интегрирования — может зависеть от у и г. Обозначая его ф (у, z), получим
9 = X3 + х*у + $ (у, г). (3)
Чтобы найти ^ (у, г), возьмем частную производную от 9 по у из равенства (3) и приравняем ее к из равенств (2):
откуда = 2у + z. Интегрируя по у и учитывая, что
постоянная и тегрирования не зависит от у, но может зависеть от Zi получим
^(У, г) = J(2y-\-z)dy = y*-hzy + x(z)>
где x(z) — пока неизвестная функция от z.
Подставляя ^ (у, г) в равенство (3), получим:
9 = JC3 + х2у + у2 + zy + х (2)- (4)
Остается найти %{z). Для этого находим^ из равенства (4) и приравниваем к ^ из равенств (2):
У + х'(г) = У+Зг*,
откуда х (2) = Z3 + С.
flalaUausTjjk.
знание CestpSHUU
§ is 73
Итак, окончательно
<р(Х, у, Z) = дс3 + х2у + #2 + + Z3 + С.
Пример 2. Найти функцию 9 по ее полному дифференциалу:
dy = (Sx2^tZ + Зле2) і + 2x3yz j + (л:3 у2 + 3z2) Л.
Выражение в правой части этого равенства является полным дифференциалом некоторой функции. Действуя так же, как и в предыдущем примере, находим:
9 = X3 + x3y2z + Z3 + С.
Пример 3. Дано поле сил тяготения, образованное точечной* массой т0, расположенной в начале координат. Найти работу, совершенную в этом поле при перемещении точки M единичной массы ИЗ положения M1 (Jf1, ул, Z1) в положение M2 (х2, */2, Z2).
Поле сил тяготения, образованное точечной массой т0, находящейся в начале координат, может быть аналитически задано следующим равенством (см. стр. 6):
F = — Tm0 * + ,
(X2 + у2+ Z2)2
Это — потенциальное поле. Работа Tt совершенная на пути от точки М1(х1, ylt Z1) к точке M2 (д:2, у2, Z2), равна следующему интегралу:
(*». Vi. Z1)
T= J -4me*iK + vdy+f
(*«+»*+ Z*)1
Подинтегральное выражение является полным дифференциалом
функции -------——, что видно непосредственно. Поэтому,
{х*+у* -f 2а) 2
согласно обобщенной формуле Ньютона-Лейбница, имеем:
rP ______TwO
_1_
(Xі+ у* + Zv)2
*i. Vt. z*
Tm0
f----!---г-----1---—I - Vbfc-+).
74
Часть !
где P8 и P1 — расстояния точек Ma и M1 от начала координат.
Функция 9 ---------——— = -r^j является потенциалом
(*»+»» + г>)т |Л|
данного силового поля. Разность ее значений в точках M2 и M1 дает величину работы при переходе от M1 к M2.
§ 16. Криволинейные координаты
До сих пор, желая задать аналитически скалярное или векторное поле, мы пользовались декартовой системой координат. Так, например, скалярное поле мы задавали с помощью функции трех переменных; этими переменными были абсцисса, ордината и аппликата переменной точки пространства. Однако ясно, что задание абсциссы, ординаты и аппликаты точки является не единственным способом определения положения точки в пространстве. Это можно сделать и иным способом, например, с помощью криволинейных координат.
Пусть по некоторому, вполне определенному, правилу каждой точке M пространства однозначно соответствует некоторая тройка чисел (i7,, q2, qa), причем различным точкам соответствуй ют различные тройки чисел. Тогда говорят, что в пространстве задана система координат; числа ^ll qt, q3, которые соответствуют точке М, назовем координатами (или криволинейными координатами) этой точки.
В зависимости от того правила, по которому тройка чисел (<7i, q2, qa) ставится в соответствие точке пространства, говорят о той или иной системе координат.
Если хотят отметить, что в данной системе координат положение точки M определяется числами qv qt, qa, то это записывают так: M (qt, q2, qa).
Пример 1. Пусть в пространстве отмечена некоторая фиксированная точка О (начало координат) и через нее проведены три взаимно перпендикулярные оси с выбранным на них масштабом (оси Ojc, Oy, Oz). Тройке чисел х, у, г поставим в соответствие такую точку М, что проекции ее радиус-вектора ОМ на оси Ox, Oy, Oz равны, соответственно, числам х, у, г. Такой способ установления зависимости между тройками чисел (х, у%