Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 22

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 110 >> Следующая


X, Y, z

<р (X, YtZj = j (З*2 + 2ху) dx -f (а:2 + 2у + z) dy + (у+Щ dz,

__ xOtVmzO

взяв в качестве точки (х0, у0, г0), например, начало координат, а в качестве пути интегрирования —: любую линию, соединяющую точки (0, 0, 0) и (X, Yt Z), например прямолинейный отрезок или ломаную, изображенную на рис. 35 (напомним, что этот интеграл не -зависит от пути интегрирования). Вычисляя интеграл, находим

<р(Х, Yt Z) = X3 + X2K + K2 + ZY + Z3.

Итак, потенциалом поля А является функция <р = хъ 4- +

+ У2 + zy 4- Z3t а также любая функция семейства

?'= X3 + х2у 4- уъ + zy 4- Z3 + С.
72

Часть /

Заметим, что для вычисления потенциала по его градиенту нет необходимости прибегать к криволинейному интегралу. Покажем это на нашем примере. __

Так как, для искомой функции 9, grad <р = A то

^ = Sx2 + 2ху\ = + 2у + г\ = у + 3z2. (2)

Проинтегрируем почленно по X первое из этих равенств:

9 = J (Зл;8 -f 2ху ) dx.

Это интегрирование мы должны провести по переменной х, считая у Yl г постоянными. Поэтому интеграл найдется с точностью до слагаемого, не зависящего от х; однако, это слагаемое—* постоянная интегрирования — может зависеть от у и г. Обозначая его ф (у, z), получим

9 = X3 + х*у + $ (у, г). (3)

Чтобы найти ^ (у, г), возьмем частную производную от 9 по у из равенства (3) и приравняем ее к из равенств (2):

откуда = 2у + z. Интегрируя по у и учитывая, что

постоянная и тегрирования не зависит от у, но может зависеть от Zi получим

^(У, г) = J(2y-\-z)dy = y*-hzy + x(z)>

где x(z) — пока неизвестная функция от z.

Подставляя ^ (у, г) в равенство (3), получим:

9 = JC3 + х2у + у2 + zy + х (2)- (4)

Остается найти %{z). Для этого находим^ из равенства (4) и приравниваем к ^ из равенств (2):

У + х'(г) = У+Зг*,

откуда х (2) = Z3 + С.
flalaUausTjjk.

знание CestpSHUU

§ is 73

Итак, окончательно

<р(Х, у, Z) = дс3 + х2у + #2 + + Z3 + С.

Пример 2. Найти функцию 9 по ее полному дифференциалу:

dy = (Sx2^tZ + Зле2) і + 2x3yz j + (л:3 у2 + 3z2) Л.

Выражение в правой части этого равенства является полным дифференциалом некоторой функции. Действуя так же, как и в предыдущем примере, находим:

9 = X3 + x3y2z + Z3 + С.

Пример 3. Дано поле сил тяготения, образованное точечной* массой т0, расположенной в начале координат. Найти работу, совершенную в этом поле при перемещении точки M единичной массы ИЗ положения M1 (Jf1, ул, Z1) в положение M2 (х2, */2, Z2).

Поле сил тяготения, образованное точечной массой т0, находящейся в начале координат, может быть аналитически задано следующим равенством (см. стр. 6):

F = — Tm0 * + ,

(X2 + у2+ Z2)2

Это — потенциальное поле. Работа Tt совершенная на пути от точки М1(х1, ylt Z1) к точке M2 (д:2, у2, Z2), равна следующему интегралу:

(*». Vi. Z1)

T= J -4me*iK + vdy+f

(*«+»*+ Z*)1

Подинтегральное выражение является полным дифференциалом

функции -------——, что видно непосредственно. Поэтому,

{х*+у* -f 2а) 2

согласно обобщенной формуле Ньютона-Лейбница, имеем:

rP ______TwO

_1_

(Xі+ у* + Zv)2

*i. Vt. z*

Tm0

f----!---г-----1---—I - Vbfc-+).
74

Часть !

где P8 и P1 — расстояния точек Ma и M1 от начала координат.

Функция 9 ---------——— = -r^j является потенциалом

(*»+»» + г>)т |Л|

данного силового поля. Разность ее значений в точках M2 и M1 дает величину работы при переходе от M1 к M2.

§ 16. Криволинейные координаты

До сих пор, желая задать аналитически скалярное или векторное поле, мы пользовались декартовой системой координат. Так, например, скалярное поле мы задавали с помощью функции трех переменных; этими переменными были абсцисса, ордината и аппликата переменной точки пространства. Однако ясно, что задание абсциссы, ординаты и аппликаты точки является не единственным способом определения положения точки в пространстве. Это можно сделать и иным способом, например, с помощью криволинейных координат.

Пусть по некоторому, вполне определенному, правилу каждой точке M пространства однозначно соответствует некоторая тройка чисел (i7,, q2, qa), причем различным точкам соответствуй ют различные тройки чисел. Тогда говорят, что в пространстве задана система координат; числа ^ll qt, q3, которые соответствуют точке М, назовем координатами (или криволинейными координатами) этой точки.

В зависимости от того правила, по которому тройка чисел (<7i, q2, qa) ставится в соответствие точке пространства, говорят о той или иной системе координат.

Если хотят отметить, что в данной системе координат положение точки M определяется числами qv qt, qa, то это записывают так: M (qt, q2, qa).

Пример 1. Пусть в пространстве отмечена некоторая фиксированная точка О (начало координат) и через нее проведены три взаимно перпендикулярные оси с выбранным на них масштабом (оси Ojc, Oy, Oz). Тройке чисел х, у, г поставим в соответствие такую точку М, что проекции ее радиус-вектора ОМ на оси Ox, Oy, Oz равны, соответственно, числам х, у, г. Такой способ установления зависимости между тройками чисел (х, у%
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed