Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
г) и точками M приводит нас к хорошо известной декартовой системе координат.
Легко видеть, что в случае декартовой системы координат не только каждой тройке чисел отвечает определенная точка пространства, но и, обратно, каждой точке пространства соответствует определенная тройка координат.
знанивСэзерэнич Ч*
§ 16
75
Пример 2. Пусть в пространстве снова проведены три оси Ox, Oy, Oz, проходящие через фиксированную точку О (начало координат).
Рассмотрим тройку чисел г, 9, г, где г > О, 0<<р<2 тс, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M такую, что ее аппликата равна г, а ее проекция на плоскость Oxy имеет полярные координаты г и 9 (рис. 36). Ясно, что здесь каждой тройке чисел г, 9, г соответствует определенная точка M и, обратно, каждой точке M отвечает определенная тройка чиселг, 9, г, где г > 0, 0 < 9 <
<2w, — со < * < -f- со (за исключением того случая, когда точка M лежит на оси Oz: в этом случае г и z определены однозначно, а углу 9 можно приписать любое значение).
Числа г, 9, z называются цилиндрическими координата-ми точки М.
Легко установить связь между цилиндрическими и декартовыми координатами точки:
и
X = rcos 9, у — г sin 9» Z-Z = V X2 + у* ; 9 = arctg -J- ;• г = г.
О)
(2)
Пример 3. Введем сферическую систему координат.
Зададим три числа р, 0, 9, характеризующие положение точки M в пространстве, следующим образом: р — расстояние от начала координат до точки M (длина радиус-вектора), 0— угол между положительным направлением оси Oz и радиус-вектором OM (широта точки М), 9 — угол между положительным направлением оси Ox и проекцией радиус-вектора на плоскость Oxy (долгота точки М).
* Строго говоря, 9 — arctg — только, если у > 0; х > 0. Если х < 0
Л
у
(при любом г), то 9 =* п arctg —; если же х > 0, у < 0, то 9 = 2 п -J*
У У
+ arctg — . Впрочем, во всех случаях tg?= — .
А Л
76
Часть I
Ясно, что и в этом случае не только каждой точке соответствует определенная тройка чисел р, 0, 9, где р > 0, 0<6<іг, О < 9 < 2тс, но и обратно, каждой такой тройке чисел отвечает определенная точка пространства (снова за исключением точек оси Oz, где эта однозначность нарушается).
Легко найти связь между сферическими и декартовыми координатами точки (рис. 37):
х — р sin G cos 9, у = р sin G sin 9, z = р cos G (3)
и P= Yx2 + у2 4 Z2; G = arccos г----------------; 9 = arctg . * (4)
К*8 + */2 + *2 *
Вернемся к произвольной системе координат (?,, q2, qa). Будем считать, что не только каждой точке пространства отве-
Рис. 37 Рис. 38
чает определенная тройка чисел (qlt q2, qa), но и, обратно, каждой тройке чисел отвечает определенная точка пространства (при этом, как мы видели на примерах, область изменения чисел qlt q2, qa иногда приходится ограничивать; например, в сферических координатах р принимает не всевозможные значения, а только такие, что р > 0; широта 0 — не всевозможные значения, а только ограниченные неравенством 0<0<тг, и т. д.).
Введем понятие координатных поверхностей и координатных линий.
* Cm. предыдущую сноску.
77
Множество тех точек, для которых координата постоянна, называется координатной поверхностью qx. Аналогично определяются координатные поверхности q2 и qa (рис. 38).
Очевидно, что если точка M имеет координаты Cll C2, Cat то в этой точке пересекаются координатные поверхности:
Qi = Cl, q2 -- C2, qa = Ca,
Множество тех точек, вдоль которых изменяется только координата ql (а остальные две координаты q2 и qa остаются неизменными), называется координатной линией qa. Очевидно, что всякая координатная линия является линией пересечения координатных плоскостей q2 и q3. Аналогично определяются координатные линии q2 и qs.
Пример 1. Координатными поверхностями (по координате х) в декартовой системе координат являются все плоскости х = = Const (они параллельны плоскости Oyz). Аналогично определяются координатные поверхности по координатам у иг.
Координатная лс-линия — это прямая, параллельная оси Ох\ координатная у-шнш (z-линия) — прямая, параллельная оси Oy (оси Oz).
Пример 2. Координатными поверхностями в цилиндрической системе являются любая плоскость, параллельная плоскости Oxy (координатная поверхность г — const), поверхность кругового цилиндра, ось которого направлена по оси Oz (координатная поверхность г ¦--- const) и полуплоскость, ограниченная осью Oz (координатная поверхность <р = const) (рис. 39).
Название «цилиндрическая система координат» объясняется тем, что среди ее координатных поверхностей имеются цилиндрические поверхности.
Координатными линиями в этой системе являются г-линия — прямая, параллельная оси Oz; 9-линия — окружность, лежащая в горизонтальной плоскости с центром на оси Oz; г-линия — луч, выходящий из произвольной точки на оси Oz, параллельный плоскости Оху.
Пример 3. Координатными поверхностями в сферической системе координат служат сферы с центром в начале координат (поверхность р = const), полуплоскости, ограниченные осью Oz (поверхности 9 = const) и конические поверхности с образующими, составляющими постоянный угол с положительным направлением оси Oz (поверхности О = const) (рис. 40).
