Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
He следует думать, что вектор угловой скорости в точке обязательно должен быть перпендикулярен вектору линейной скорости в этой точке. Так, например, если v = i-\-zj, то rot v =—і, - I ,- 7
ш = Tj- rot V ~ — и, следовательно, в данном случае вектор
о) не перпендикулярен V.
Однако в том случае, когда пЪле скоростей v является плоскопараллельным (например, если вектор v всегда параллелен плоскости Oxy и не зависит ни по величине, ни по направлению от z), то rot V перпендикулярен V и, значит, «> _L v. Действительно, если V = P (х, у)-T+ Q (х, у)-J, то той) = k, отку-
да следует, что rot V _L V и, следовательно, о> _]_ v.
Если поле скоростей V плоскопараллельно и если, кроме того, жидкость движется вдоль каждой траектории с постоянной по модулю линейной скоростью (т. е. если I VI имеет одно и то же числовое значение во всех точках траектории), то по виду траектории можно судить о направлении и величине ротора. Так, например, если при выполнении указанных условий одна из траекторий имеет вид, изображенный на рис. 30, причем жидкость течет в направлении, указанном стрелкой, то в точке M1 вектор ш (M1) перпендикулярен плоскости чертежа и направлен к читателю; следовательно, так же расположен и ротор в точке M1. В точке M2 вектор о (M2) направлен в противоположную сторону; это же верно и для rot с/ в точке M2. Заметим, кроме того, что угловая скорость в точке Ma больше, чем в точке M1, поэтому
lrot»L,> Irot^U-
* Под турбинкой мы подразумеваем совокупность нескольких плоских лопастей, проходящих через одну и ту же ось и прочно закрепленных на этой оси (см. рис. 29).
§12
59
Приведенный пример показывает, что в случае плоскопараллель-_ного движения с линейной скоростью, постоянной по модулю вдоль каждой траектории, ротор велик там, где кривизна векторной линии велика (например, в точке M2), и мал там, где кривизна мала (например, в точке M1). Этим и объясняется название ротора (от латинского слова rotare — вращать); этим же объясняется и другое, часто применяемое название ротора — «вихрь поля».
Следует заметить, что приведенные рассуждения остаются в силе только для плоскопараллельного поля с постоянной по модулю (вдоль каждой траектории) линейной скоростью. В случае же, если эти условия нарушены, ротор поля может быть отличен от нуля и там, где кривизна векторных линий равна нулю (например, там, где векторные линии прямые). Так, например, если поле А задано равенством: А — z (xi 4- yj-\-zk), то все векторные линии этого поля прямые, однако ротор отличен от нуля: rot А = — y-i x-j ф 0. С другой стороны, существуют такие векторные поля, у которых ротор во всех точках равен нулю, _хотя векторные линии и не являются прямыми (например, поле А = 2хуЛ х:*•/).
Теорема Стокса в векторной форме. После того, как введено понятие ротора векторного поля, можно сформулировать теорему Стокса в более удобной форме. Для этого заметим, что в левой части ^ формулы _ Стокса стоит циркуляция векторного поля A = Pi + Qj + Rk по контуру /, а в правой — под знаком поверхностного интеграла — скалярное произведение вектора (dR dQ\T . ( дР dR\- . IdQ дР\и,
\ Si - -fc ) •1 + Ы - дї)/ + Ы? - -дї) k е- P010Pa векторного поля) на единичный вектор нормали к поверхности S:
Рис. 29
Рис. 30
п = cos а • і -J- cos р */ -f- cos 7-k.
60
Часть I
Поэтому формула Стокса может быть записана так:
j AdT= Jj rot-AdSt (5)
і s
где rot- А — проекция вектора rot А на нормаль к поверхности S.
Выражение в правой части равенства (5) является потоком ротора. Поэтому формула Стокса может быть прочитана следующим образом:
Циркуляция векторного ' поля по замкнутому контуру I равна потоку ротора этого поля через поверхность, натянутую на контур I.
При этом, конечно, направление обхода по контуру I и направление нормали на поверхности должны быть согласованы друг с другом.
§ 13. Правила действия над дивергенцией и ротором
Дивергенция и ротор являются дифференциальными операциями, аналогичными операции вычисления производной от функции одной переменной. Приведем основные правила действий с этими операциями.
1. Дивергенция и ротор постоянного вектора равны нулю.
Действительно, если А = ai + bj + ck, где а, Ь, с — постоянные числа, то div А = -Sj- + ~ + = 0. Аналогично проверяет-
ся, что rot А == 0.
2. Дивергенция и ротор обладают свойством линейности;
это значит, что если С = аА + ЬВ, где А и В — векторные поля, а а и b — постоянные числа, то
divC = а • div А + b • div В\
rotC = а'ТоїА -f- 6-rot ?.
Проверим, например, первую формулу. Пусть А ~ P1I + + Qj + RJt, Ъ = /У + Qj+R& Тогда С = (аРх + ЬР2) і +
H- (aQi H- bQ%) і H- (aRi Н~ 2) k* и
div С = (аР, + ЬР2) + ~ (OQ1 + bQ2) + (OK1 + bR2) =
= а(ЁЪ,Э01 , 4^) + 6(4b + 4^ + ^) = adiv4 + 6divB.
и\дх^ГдупГдг)^\дх^ду^дг) '
61
3. Рассмотрим, как вычисляется дифференциальная операция от произведения двух функций, скалярных или векторных.
а) Пусть и и V — два скалярных поля. Тогда поле uv также является скалярным. В скалярном поле мы знаем только одну дифференциальную операцию — градиент. Градиент произведения мы уже вычисляли (см. выше, стр. 17).
