Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из соотношений (8.1.6) и (8.1.9) видно, что для рассмотренных выше процессов, связанных с падением частиц на черную дыру, имеет место неравенство
SA > 0, (8.1.10)
причем равенство справедливо тогда и только тогда, когда процесс обратимый. Величина
Mir = (.4/2)1'2 (8.1.11)
получила название неприводимой массы черной дыры [Кристодулу (1970) ]. Из уравнений (8.1.8) и (8.1.11) получаем
I J2
M2=Mi2+- — > M-2. (8.1.12)
4 Mi
Из этого соотношения вытекает, что в результате процесса Пенроуза исходную массу M нельзя сделать меньше Mit, и, следовательно, максимально возможный выигрыш энергии в этом процессе равен Д& = AMc2, где
AM = M0- Mil (M0, J0), (8.1.13)
a M0 и 70 — исходные масса и угловой момент черной дыры, Mir (M0, J0) — отвечающая им неприводимая масса.
Простые рассуждения показывают, что при заданной начальной массе M0 максимальное значение AM:
AMmax = (l -1/V2)M0 «0,29М0 (8.1.14)
достигается для экстремальной черной дыры с 70 = M0.
156
Нетрудно убедиться, что величина А лишь численным коэффициентом отличается от выражения для площади Л керровской черной дыры:
А=4п(г1+а2)=8ттА. (8.1.15)
Поэтому условие (8.1.10), означающее неубывание площади поверхности черной дыры для рассматриваемых процессов, по сути дела, является частным случаем общей теоремы Хокинга ( § 5.4).
Теорема Хокинга позволяет сделать ряд общих выводов относительно процессов с участием черных дыр. Прежде всего, неравенство (8.1.6) нетрудно распространить на случай заряженных черных дыр и для процессов, в которых участвуют заряженные частицы. Для этого достаточно воспользоваться выражением (8.1.15), где в случае заряженной вращающейся дыры
r+ = M + \/M г -а2 -Q2. (8.1.16)
Условие 8А> Оъ этом случае дает
б Л/ > ?lH8J + Фяб Q, (8.1.17)
где SJ и SQ — изменение углового момента и заряда черной дыры, а
Фн = Qr+/(rl+а2) (8.1.18)
— ее электрический потенциал.
Если в соотношении (8.1.17), обобщающем (8.1.6), имеет место равенство, то, как и ранее, такие процессы будем называть обратимыми. Общим свойством обратимых процессов является то, что площадь поверхности черных дыр для них не возрастает.
Подчеркнем, что в выражении (8.1.17) SJ — полное изменение углового момента черной дыры. При этом не играет роли - связано ли это изменение с угловым моментом падающей частицы, отвечающим ее орбитальному движению, или с ее внутренним угловым моментом (спином). Применение общего неравенства (8 1.17) в последнем случае позволяет, в частности, показать, что со стороны вращающейся черной дыры на спиновую частицу действует дополнительное гравитационное спин-спиновое взаимодействие [Хокинг, (1972а),Уолд (1972),Бекенштейн (1973b)].
Рассмотрим в качестве иллюстрации простейший случай, когда частица со спином s и зарядом е, обладая энергией е, падает на черную дыру, двигаясь точно по оси симметрии. Если такая частица упадет в черную дыру, то, используя законы сохранения, имеем
SQ = е, SJ- as, SМ<е. (8.1.19)
Здесь ст=1, если спин направлен по направлению вращения черной дыры, и ст = —1 в противоположном случае. Возможность неравенства в последнем из соотношений (8.1.19) связана с тем, что часть энергии может быть излучена. Соотношения (8.1.17) и (8.1.19) показывают, что частица со спином может упасть на черную дыру только в том случае, если ее энергия е превышает величину cts?2w+ еФя. Второе слагаемое е&! имеет смысл обычной электростатической энергии отталкивания. Первое слагаемое при ст=1 описывает отталкивание, а при ст = —1 — притяжение за счет спин-спинового взаимодействия [в теории гравитации подобное взаимодействие имеет место для любых двух вращающихся тел; подробный вывод выражения для этой силы и описание аналогии между гравитационным
157
спин-спиновым взаимодействием и электромагнитным взаимодействием магнитных диполей см. Уолд (1972)].
Поскольку движение частиц в приближении геометрической оптики непосредственно связывается с распространением волновых пакетов, естественно ожидать, что при определенных условиях падение волны на вращающуюся черную дыру также может приводить к усилению этой волны. Убедимся (с помощью теоремы Хокинга), что этот процесс действительно возможен, и выведем условия, при которых он имеет место.
Поскольку метрика Керра — Ньюмена, описывающая геометрию заряженной черной дыры, является стационарной и аксиально-симметричной, при описании распространения волны на ее фоне удобно использовать разложение по собственным функциям операторов
Рассмотрим поведение моды поля *рА с квантовыми числами со, т, временная и угловая зависимость которой имеет вид
~fA (г- 0) exP (-iut + і пир). (8.1.20)
Поле <рА может описывать скалярные, электромагнитные, гравитационные волны*) (или другие бозонные поля, кванты которых, в частности, могут обладать массой д и зарядом е). Вдали от черной дыры решение (8.1.20) описывает совокупность квантов, каждый из которых обладает энергией hсо, 0-компонентой углового момента hт, а также, возможно, электрическим зарядом е. Поэтому для такой волны отношения потока ^-компоненты углового момента и электрического заряда через сферу большого радиуса, окружающую черную дыру, к потоку энергии через эту сферу равны соответственно m/со и e/h со. (Это нетрудно доказать строго с помощью явных выражений для тензора энергии-импульса и тока, отвечающих рассматриваемому полю <рА.) Используя законы сохранения энергии и углового момента, связанные с симметрией рассматриваемой задачи, и закон сохранения электрического заряда, можно показать, что взаимодействие волны <рА с черной дырой приводит к изменению массы SM, углового момента 5J и заряда SQ последней, причем т е
