Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2) ^seif — собственной энергии, т.е. энергии самодействия заряда частицы;
3) ^ext - энергии взаимодействия частицы с внешним полем; 4) /Tjnt -энергии того дополнительного взаимодействия, которое обеспечивает устойчивость заряженной частицы. Введение дополнительного взаимодействия обусловливает выполнимость теоремы Лауэ. Если обозначить через е0 равновесный радиус незаряженной частицы, то ^int (є) = /Tint (е0) +
1
+ ~ К (є — е0) , и за счет выбора достаточно большой величины эффективной жесткости К изменения (вызванные внесением заряда в поле) равновесного размера Ae = є — е0 и энергии AE = /Tlnt (є) - Eint (е0) можно сделать сколь угодно малыми. В дальнейшем будем пренебрегать величинами Деи AE, считая, что жесткость К выбрана соответствующим образом. Включив в E0 постоянную величину Eint (е0), запишем выражение для полной энергии частицы в виде разложения по степеням заряда е частицы:
E-E0 +Eext +Eseif . (8.3.2)
Вдали от тяготеющих тел в отсутствие внешнего поля формула (8.3.2) сводится к следующему выражению:
E- тс2, (8.3.3)
где т = т0 + е2Ilec2. Отличие т от т0 обусловлено энергией, заключенной в поле, создаваемом зарядом. При внесении незаряженной частицы в статическое гравитационное поле ее энергия в результате совершенной работы уменьшится и станет равной /T0 = I S(t) • і (*) I ll2mc2. Если же частица заряжена, часть совершаемой работы идет на перестройку создавае-
*) Мы используем определение (П.26) для dap, при котором элемент объема поверхности X0 = const равен daц =Sfr sf^gd3 х.
167
мого ею поля. В результате /T0+Aseif не совпадает, вообще говоря, с
I S (г) -Ut) 11/2 тс2¦
Выражение для Eself можно записать в виде
Eself=S П Vjofs, (8.3.4)
ГДе I / 1 \
Fau __ §0 FllJWftty (8.3.5)
- напряженность поля, создаваемая током
Zfi(X)=Sg1 —5(/(x,x0)-e), (8.3.6)
4ite2\/-g(x)
описьшающим распределение зарядов частицы. Здесь / (х,дсь) - инвариантное расстояние точки (/,дг) от точки (/,ло) центра заряженной частицы, вычисленное вдоль геодезической, соединяющей эти точки, а є — инвариантный размер частицы. Интегрирование в (8.3.4) проводится по пространственноподобной поверхности 2, пересекающей горизонт Н*. Заметим, что интеграл (8.3.4) по части 2, расположенной внутри горизонта событий, представляет собой энергию поля, находящегося внутри черной дыры, и соответствующий вклад входит как часть в определение полной массы черной дыры. Поэтому, интересуясь вычислением сдвига энергии в поле заданной черной дыры, будем считать параметры последней фиксированными и, в соответствии с этим, интегрирование в (8.3.4) вести по части 2, лежащей вне черной дыры*).
Используя уравнения Максвелла
Fuv. „ = 4*/", (8.3.7)
можно преобразовать выражение (8.3.5) к виду
П(3 = -I (^vAaFa*3 - I^AaFav - 2^аAaFvP),v -Д ^Aala -j4aAa.
8?r 2
(8.3.8)
С помощью теоремы Стокса интеграл от выражения в скобках в правой части этой формулы можно свести к сумме интеграла по поверхности черной дыры и интеграла по бесконечно удаленной поверхности. Из-за быстрого убывания полей на бесконечности второй из этих интегралов обращается в нуль. Нетрудно убедиться, что для частицы, расположенной на оси симметрии, и первый интеграл (по поверхности черной дыры) также равен нулю. Таким образом, если учесть параллельность и /“, окончательно имеем
b'seif =! AaIa^doe. (8.3.9)
*) Выражения (8-3.4) - (8.3.5) для собственной энергии заряда с описанным выше условием на выбор области интегрирования ? находятся в полном соответствии с общим выражением (11.2.48) для изменения массы системы, содержаще# черную дыру, при изменении параметров самой системы. Интересно отметить, что для шварцшильдовской черной дыры, интеграл по части поверхности S1 лежащей под горизонтом, тождественно равен нулю.
168
Чтобы получить явное аналитическое выражение для ?seif, можно воспользоваться выражением для потенциала Aa, создаваемого точечным зарядом, расположенным на оси вращения в пространстве-времени Керра, найденным Лине (1977а). Получаемое при этом выражение для ^seIf имеет
ВИД е2 е2 M
Eseif = ~ IStt I 1/2 +— T7-T • (8-ЗЛ0>
2е 2 г о +а
Если сравнить силу, необходимую для того, чтобы удержать такую частицу
в точке г о, с силой, которая требуется для этого в случае нейтральной
частицы с массой т = т0 + е2/2е, то их разность
Af=IAffl AZfjI1'2 =е2 ~Г°- . (8.3.11)
(Го+а2 у
Эта избыточная сила Affi, действующая на заряженную частицу, направлена по оси симметрии в сторону от черной дыры.
Если заряженная (со скалярным, электрическим или гравитационным зарядом) частица покоится вблизи вращающейся черной дыры вне оси симметрии, то на нее действует дополнительная сила [Гальцов (1982)]. Эта Сила пропорциональна угловому моменту черной дыры и квадрату заряда частицы. Она возникает как реакция на приливное воздействие, оказываемое частицей на черную дыру и стремящееся затормозить ее вращение. Эта сила исчезает, если частица вращается с той же угловой скоростью, что и черная дыра, или находится на оси симметрии.
