Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8.4. Взаимное превращение электромагнитных
. и гравитационных волн в поле заряженной черной дыры
Хорошо известным следствием нелинейности системы уравнений Эйнштейна — Максвелла является эффект взаимного превращения электромагнитных и гравитационных волн во внешнем электрическом поле [подробное обсуждение этого эффекта и ссылки на соответствующие работы см., например, Сибгатуллин (1984*) ].
В настоящем параграфе мы кратко остановимся на описании этого эффекта в примении к задаче о распространении фотонов и гравитонов в поле заряженной черной дыры [Сибгатуллин (1973*, 1974*, 1984*), Сибгатуллин, Алексеев (1974*),Герлах (1974,1975)].
Пусть имеются метрика g и электромагнитное поле Afit удовлетворяющие системе уравнений Эйнштейна — Максвелла, и пусть Ztfiv =Sgfiv и
= ЬА» - малые возмущения на этом фоне. Тогда из условия, что g^„ + + Iiliv и A + Oti также являются решениями этих уравнений, вытекает следующая линеаризованная система для возмущений:
#, ’,Л. і, \ г, Л. __ „ и > Л. ___
K\iv\\ ~к ц.р'Х Л 2 Vlv
- Ikal3Flla Fvfs - I *м„ FafsI^ ^gtlv kaV'a0 F$ +
-+IcTliv + IFiiOfva + 2F^flia -gfivF^fa0=O, (8.4.1а)
к* Fae=O. (8.4.1b)
169
f\xv av,fi ~ ац,v> Ffiv Avfl — Afiyv', (8.4.2)
поднятие, опускание индексов и ковариантное дифференцирование осуществляется с помощью метрики g^v, a Tfiv — тензор энергии-импульса поляFilv [см. (П.48)].
Эта система инвариантна относительно калибровочных преобразований
tv hfiv — Su;v ~~ Sviu >
(8.4.3)
Ofl^afl + X;#J - SaAtiia-Sa -^A01.
Для ликвидации калибровочного произвола удобно наложить следующие дополнительные условия:
ка&-ф = 0, я% = 0. (8.4.4)
Мы рассмотрим эффект взаимодействия электромагнитных и гравитационных возмущений, связанный с появлением членов, содержащих электрическое поле /, в уравнении (8.4.1а) и членов, содержащих гравитационное возмущение к, в уравнении (8.4.Ib), в приближении, когда длина волны X электромагнитных и гравитационных волн много меньше характерного размера L неоднородностей фоновых полей Sfiv и Afi. Используя приближение геометрической оптики*), запишем возмущения к^v HatiB следующем виде:
а, = Re [(CCfj + е/Зм + ... )е'5/е], (8.4.5а)
к^ = Re[(Kfjv + Citliv + ... ) е'5/е], (8.4.5Ь)
где е— некий параметр, характеризующий степень малости рассматриваемого члена по отношению к безразмерному параметру X/L. Фазовые функции S в выражениях (8.4.5) выбраны так, что они совпадают друг с другом. Этого можно добиться за счет переопределения предэкспонент в случае, если их различие порядка 0(e). В противном случае, если разница в фазах Sa и S* в выражениях для Ofi и Icfiv не мала (Sa — Sk = О (є0)), члены, обусловливающие перемешивание, входят с высокочастотным множите-
(Sa - Sk)/е
лем е , и перемешивание в низшем по є порядке отсутствует.
Если обозначить= Sia, то при подстановке (8.4.5) в уравнения (8.4.1) и в калибровочные условия (8.4.4)приравнивание нулю членов порядка е~2 и є-1 приводит к следующему соотношению (уравнение эйконала)-.
IaIa= О (8.4.6)
и уравнениям
IiiKiiv = О, IiiOLii= 0, (8.4.7)
IliuiCilt +2/0(*%=^, ", (8.4.8а)
/(3 ;(3 Kiiv +21е Kfiv-P = N2fiv, (8.4.8Ь)
*) О применении метода геометрической оптики к распространению высокочастотных гравитационных волн см. Айэааксон (1968 а, Ь). Детальное изложение этого метода для электромагнитных и гравитационных возмущений можно найти в книге Мизнера, Торна, Уилера (1973).
Условие (8.4.6) показывает, что поверхность постоянной фазы S = const — световая. Поэтому интегральные линии х" = хц (X), определяемые уравнением
Clxix
—— =Iil(X) (8.4.10)
а Л
и лежаище на этой поверхности, являются световыми геодезическими, а параметр X — аффинный.
Дополним векторное поле /"до комплексной световой тетрады (/", л", т", т "), потребовав, чтобы векторы этой тетрады были нормированы условиями
/"им = -1, WfiWfj = 1 (8.4.11)
(остальные скалярные произведения обращаются в нуль), а сами тетрады были ковариантно постоянны вдоль интегральных кривых /":
/"w";fJ =Z^jfj=O. (8.4.12)
Из условия ортогональности /fiWfj = O следует, что векторы Wfj, Wfj каса-тельны к поверхности S = const. Можно показать [см., например, Сибгатул-лин(1984*)], что оставшийся произвол в калибровочных преобразованиях (8.4,3), сохраняющих дополнительные условия (8.4.7), может быть использован для того, чтобы привести выражения для Ccfj и Kfiv к виду
<*И =Amfl +A Wfj ,
— Kfiv=Hm Jj w „ + HmfjInv
(8.4.13)
Умножая (8.4.8а) на w" и (8.4.8Ь) на wMmv и вводя обозначения Ф0 = = Fal3ZaWlJ и ft j р= —2/0, получаем следующую систему уравнений: dA
- -рА = Ф0Н, (8.4.14а)
аХ
dH
-------рН=-Ф0А. (8.4.14Ь)
cf X
Из этих уравнений следует соотношение
[/"(Ml2 + |Я|2)];#1=0, (8.4.15)
которое можно интерпретировать как закон сохранения суммарного числа фотонов и гравитонов.
Систему уравнений (8.4.14) можно несколько упростить, если от полевых переменных A, H перейти к величинам
A = z A, H=zH, (8.4.16а)
где л
z = z(X) = z„exp[- / pd\\. (8.4.16b)
