Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде всего напомним [см., например, Крамер и др. (1980)], что статическое аксиально-симметричное вакуумное гравитационное поле описывается с помощью метрики Вейля
Js2 = -е20dt2 + е~2v[e2X (dp2 +dz2) + p2dy2), (8.5.20)
где U и V являются функциями от р и z и удовлетворяют уравнениям 1
U р, +— UiP+U22= 0, (8.5.21а)
VtP= PiU2ft - U22), V2 = IpUpU2. (8.5.2Ib)
Нетрудно убедиться, что (8.5.21а) обеспечивает выполнимость условий интегрируемости системы (8.5.21Ь). Поскольку решение системы (8.5.21 Ь) для известной функции U(p, z) легко находится в квадратурах, вакуумная метрика (8.5.20) однозначно определяется выбором решения уравнения (8.5.21а). В частности, метрика Шварцшильда в этих координатах отвечает следующему решению:
I / X - I \ I /X2 -IN
ssт (ттт)¦ (8-5-22)
где
Л++Л_ /?+—/?_ г—----------
X= ——", M =------------——, Я* =Vp2 +(ZtM)2- (8.5.23)
2 M 2 M
при зтом горизонт событий Hопределяется условием
р=0, -М< z <М. (8.4.24)
Согласно теореме единственности (см. § 6.3) зто решение является единственным, описывающим черную дыру в вакууме в асимптотически плоском пространстве-времени. Всякое другое вакуумное решение, обладающее регулярным горизонтом*), не может быть асимптотически плоским.
*) Строго говоря, требуется регулярность так называемого горизонта Киллинга, определяемого в статическом пространстве условием Э, • Э, = 0, где Df - векторное
181
Поэтому, строго говоря, возмущенная черная дыра обязательно описывается невакуумным решением уравнений Эйнштейна. В простейшем случае можно считать, что вещество, создающее внешнее гравитационное поле, расположено на некотором расстоянии от черной дыры. Тогда в окрестности ее горизонта гравитационное поле описывается вакуумной метрикой Вейля (8.5.20). И хотя точное решение подобной полной задачи удается найти лишь для очень частных случаев распределения вещества, изучение свойств вакуумных решений Вейля вблизи регулярного горизонта позволяет получить довольно полную информацию о возможном влия-
нии внешних воздействии на поверхность черной дыры
).
Решение, описывающее возмущенную черную дыру, можно записать в следующем виде [Героч, Хартль (1982)] :
U= Us +U, V=VS+V, л (8.5.25)
где Us и Fs даются выражениями (8.5.22), a U является решением однородного уравнения (8.5.21а), удовлетворяющим условию регулярности на отрезке р= 0, -M <z < M и в некоторой его окрестности и принимающим на его концах одинаковые значения
Uip = Oj Z=-M)= U(p = 0, Z = M)= и. (8.5.26)
А
Значение V однозначно определяется из уравнения (8.5.21Ь) при условии, что V = 0 на участках оси р = 0, лежащих вне вещества. Условие (8.5.26), связанное с отсутствием узловых сингулярностей, гарантирует обращение в нуль суммарной силы, действующей со стороны внешнего поля на черную дыру как целое, что обеспечивает возможность существования регулярного статического решения. Используя второе уравнение из (8.5.2 Ib), можно показать, что на горизонте событий H имеет место соотношение
V=IU -In. (8.5.27)
С помощью преобразования координат
sinfl, z = еи (г - 2М0) cos6, (8.5.28)
Г 2 M0 I= eursj1---------
М0=Ме~и (8.5.29)
можно метрику (8.5.20) привести к следующему виду: л / 2 M0 \ л л
ds2 =-e2U[l-----------Jdt2 + e2V~2U+2u X
X I^l---------^ dr2 + г2 (dO2 +є-'* sin26 d^2)|. (8.5.30)
поле Киплинга. В статическом асимптотически плоском пространстве горизонт Киплинга совпадает с горизонтом событий (см. § 6.3).
Интересно отметить, что хотя метрика Вейля, описывающая статическую деформированную аксиально-симметричную черную дыру, принадлежит к общему типу I по Петрову, на горизонте событий она имеет тип D [Пападопулос, Ксантопулос (1984)].
182
Горизонт событий H в этих координатах описывается уравнением г = 2M0 и двумерная метрика на его поверхности с учетом (8.5.27) записывается так:
ds2 = 4Ml(elu-2tJ сів2 + е~2и+2и sin20 dy2). (8.5.31)
Нетрудно убедиться, что поверхность горизонта представляет собой деформированную аксиально-симметричным образом сферу*J, площадь которой A=\bvMl. (8.5.32)
Действие внешнего гравитационного поля, в качестве потенциала которого выступает величина exp U, на черную дыру в известной мере аналогично действию этого поля на эластичное массивное тело. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим случай, когда значение U вблизи полюсов больше значения U на экваторе. В этом случае на любое пробное тело, покоящееся вблизи полюса, будет действовать сила, стремящаяся приблизить его к экватору. В соответствии с этим, как видно из соотношения (8.5.31), поверхность горизонта оказывается сплюснутой у полюсов. Поверхностная гравитация к постоянна на поверхности горизонта:
к = еи/4М0. (8.5.33)
Отличие наблюдаемого на бесконечности значения массы M от величины M0, определяющей площадь горизонта событий и играющей роль неприводимой массы (см. § 8.1), объясняется следующим образом. Рассмотрим процесс ’’внесения” шварцшильдовской черной дыры (для которой, очевидно. M = M0) в заданное внешнее гравитационное поле. Если этот процесс осуществляется достаточно медленно, то площадь поверхности А черной дыры не изменяется и, следовательно, в этом процессе сохраняется постоянной величина M0. Величина же M = еиM0 испытывает изменение при изменении гравитационного потенциала еи внешнего поля в месте, где находится черная дыра. Разность M-M0 = M0 (еи — 1) представляет собой работу, совершенную внешним гравитационным полем при ’’внесении” в него черной дыры. Можно показать [Героч, Хартль (1982)], что при выполнении сильного энергетического условия (см. Приложение) потенциал и принимает только неположительные значения.
