Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
на горизонте событий. Кроме того, оказывается справедливым следующий ’’принцип наименьшего действия”.
Линии полоидального магнитного поля, пересекающие горизонт, распределяются таким образом, чтобы полная поверхностная энергия ? тангенциального электромагнитного поля на горизонте была экстремальной. Выражение для ? в этом случае имеет вид
& = — / [(Bh)2 + (EHf}dI,H, (7.3.14)
Sn н
а интегрирование производится по горизонту.
Наконец, запишем для бессилового поля уравнения (7.3.8) и (7.3.9):
(Пр-Пн) Ahsin20 „ „
v --------- -------(R л*
4 ire P2h
dJ--------------- ----г— (Bi)2dZHdt, (7.3.15)
Of(Of-Ow) ^wSin2A ,»¦
dM =---------------- -----— (Bi) d~L dt. (7.3.16)
4 ire3 р2н
Угловой момент и энергия, теряемые черной дырой, передаются вдоль магнитных силовых линий полоидального поля в бессиловой области к ’’районам”, где условие (7.2.19) нарушается.
Заметим, что если Of = 0 (силовые линии магнитного поля, скажем, вморожены в плазму вдали от черной дыры, и эта плазма не участвует во вращении вокруг нее), то dM = 0, т.е. полная масса дыры сохраняется, a dJ < 0, т.е. вращение черной дыры замедляется. При этом вся энергия вращения переходит в массу самой черной дыры (так называемую неприводимую массу; см. § 8.1) — ничего не отдается наружу.
При заданных параметрах черной^дыры угловая скорость вращения f2F определяется граничным условием вдали от черной дыры, во внешней плазме. Для астрофизических условий ситуация будет рассмотрена в § 7.5.
§ 7.4. Электромагнитные поля в вакууме в окрестности черных дыр
Прежде чем переходить к описанию магнитосферы вращающейся черной дыры, возникающей в условиях, когда на нее происходит аккреция за-магниченного газа (см. об этом следующий параграф), приведем в качестве иллюстраций решения следующих задач об электромагнитном поле в вакууме:
1) электрический заряд в вакууме в метрике Шварцшильда [Копсон (1928), Лине (1976), Ханни, Руффини (1973)];
2) магнитное поле в вакууме в метрике Керра, однородное на бесконечности [Уолд (1974b), Торн, Макдональд (1982), Khhf1 Лазота (1977)].
Начнем с задачи 1. Пусть заряд q покоится в координатах Шварцшильда при г = Ь, в = 0. Задача сводится к решению системы (7.2.15)-(7.2.17) с 5-функцией для ре и с }р = jT = 0. Условия (7.2.15), (7.2.16) выполняются при Ф = / = 0. Из (7.2.13) и (7.2.14) следует тогда отсутствие внешнего магнитного поля. Отсутствуют и внешние токи. Тем самым [смч. выражения (7.3.2) и (7.3.3)] равен нулю поверхностный ток на
10*
147
Рис. 70. Силовые линии электрического поля пробного покоящегося заряда q в метрике Шварцшильда в сечении -p = const: о) силовые линии на искривленной поверхности, геометрия которой совпадает с сечением = const метрики Шварцшильда; в) то же самое в проекции на плоскость (’’вид сверху”). На горизонте изображено распределе-
ние фиктивного поверхностного заряда а . Заряд q считается положительным
горизонте = 0). Из условия (7.3.7) следует, что ?" н 0 у горизонта и электрические силовые линии пересекают его ортогонально. Полный поток E через горизонт равен нулю (черная дыра не заряжена). С этими граничными условиями решение (7.2.17) с ре = 8(r - b, 6)q и со = 0 позволяет найти Лъ, а затем из (7.2.11) найти Ep (в этом параграфе везде, кроме окончательных формул, положено G=I, с = Л):
о q ( ( b-M+Mcos6\
E = \ _ J +
r[(r-M)(b-M)-M2 cos0] I
+ —-------- ----------[г-M- (Ь -M)cos0]j«>p +
q(b — 2М) (1 ~1МІг)хІ2%\пЄ
+ -----------(7.4.!)
где Cf, е § - единичные физические векторы вдоль направлений г и 0 соответственно, а
D = [(r~M)2 +(Ь-М)2 -M2 -2 (г-М)(Ь - M)cos6 + M2cos20]1/2.
(7.4.2)
Картина электрических силовых линий изображена на рис. 70. На границе черной дыры поверхностная плотность заряда определяется (7.3.1):
„ q[M(\ + cos20) — 2{b — A/)cos0]
a = --------------------------- • (7.4.3)
Snb[b - M(1 + cos0)]
Будем приближать заряд к горизонту (Ь -*¦ 2 М). На расстоянии г >b - 2 M от горизонта силовые линии становятся практически радиальными, а напряженность поля стремится к qjr2. Таким образом, общая картина, за исключением узкой области вблизи горизонта, выглядит так, как будто заряд находится в центре черной дыры.
148
Приведем теперь без подробного обоснования решение второй задачи. Вращающаяся черная дыра помещена в однородное на бесконечности магнитное поле напряженности B0. В метрике Керра магнитное поле дается следующим выражением:
B0 ( Д \1/2 / Ъх Ъ Ъх Ъ \
B= -----—( —I--------------------------------Ь (7.4.4)
lpsmd \ A J \ Ъв Ъг Ъг Ъв )
где х = (А — 4а2Л/r) sin2в/р2.
Электрическое поле, индуцируемое вращением черной дыры, пропорционально а: 2
-в*"*"1 L.,,
P3
AZsin2O
X (А - 4a2 Mr)
Ъг\ А)
Ъг р
Ъ
+ Д-1/2
Ъг \_ Ъ в
Mrsin2O Э / 1 Ni Э 1
+-------— (А - 4а2Мг) — — — • (7.4.5)
P2 ’ ЪО \ A Jl Ъв J
Как и в задаче 1, здесь отсутствуют Efi ,Bh и н *). Из формул (7.3.8),
(7.3.9) следует, что угловой момент вращения черной дыры J и ее масса M остаются неизменными. Кинг и Лазота (1977) показали, что при магнитном поле, наклоненном к оси черной дыры, величина ее углового момента будет меняться. Их рассуждения заключаются в следующем.
